SBMPTN Zone : Fungsi Kuadrat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi Kuadrat tingkat SBMPTN. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

Tipe :

Standar SBMPTN HOTS

• 1
• 2

---

No. 1

Jika berdasarkan fungsi kuadrat y=f(x) diketahui y=f(x+a) menyinggung sumbu-x di titik x=10, maka y=f(x-a) mencapai nilai maksimum pada x= ....

1. 2a+20
2. 2a+10
3. 2a-10

4. a+10
5. a-10

SUMBER

Misal y=f(x) mencapai maksimum pada x=p
y=f(x+a) mencapai maksimum pada x=10 maka,
$\begin{array}{rl}p-a& =10\\ p& =a+10\end{array}$

y=f(x-a) mencapai maksimum pada:
$\begin{array}{rl}x& =p+a\\ & =a+10+a\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2a+10}}}}\end{array}$

Jadi, y=f(x-a) mencapai nilai maksimum pada x=2a+10.
JAWAB: B

---

No. 2

Diketahui fungsi kuadrat {f(x)=-x^2+x+2}. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara f(x) dan y=2 membentuk sebuah segitiga dengan garis y=2. Luas dari segitiga yang terbentuk adalah....

1. \dfrac14
2. \dfrac12
3. 1

4. \dfrac32
5. \dfrac52

Titik potong f(x) dan y=2
$\begin{array}{rl}-x^2+x+2& =2\\ x^2-x& =0\\ x(x-1)& =0\end{array}$
x=0 dan x=1

f'(x)=-2x+1

Untuk x=0,
$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(0)\\ & =-2(0)+1\\ & =1\\ \alpha & ={45}^{\circ }\end{array}$

Untuk x=1,
$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(1)\\ & =-2(1)+1\\ & =-1\\ \alpha & ={135}^{\circ }\end{array}$

Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sama kaki.

$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(1)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$

Jadi, luas dari segitiga yang terbentuk adalah \dfrac14.
JAWAB: A

---

No. 3

Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat {f(x)=ax^2+bx+c} adalah 2. Jika {f(2)=f(4)=0} maka {a+b+c=} ....

1. -10
2. -6
3. -4

4. 4
5. 6

$\begin{array}{rl}{x}_p& ={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2+4}{2}}\\ & =3\end{array}$

f(x)=a(x-2)(x-4)

Melalui (3, 2)
$\begin{array}{rl}2& =a(3-2)(3-4)\\ 2& =a(-1)(1)\\ 2& =-a\\ a& =-2\end{array}$

f(x)=-2(x-2)(x-4)

$\begin{array}{rl}a+b+c& =f(1)\\ & =-2(1-2)(1-4)\\ & =-2(-1)(-3)& =-6\end{array}$

Jadi, a+b+c=-6.
JAWAB: B

---

No. 4

Jika x dan y adalah fungsi dari t dengan {2x=t+1} dan {t^2=y-2}, maka y adalah fungsi kuadrat dalam x yang grafiknya parabola. Titik puncak parabola ini tercapai bilamana t=p. Nilai {p+2=} ....

x=\dfrac12t+\dfrac12

y=t^2+2

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{dy}{dx}}& =0\\ {\displaystyle \frac{dy}{dt}}\cdot {\displaystyle \frac{dt}{dx}}& =0\\ (2t)\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)& =0\\ t& =0\\ p& =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}p+2& =0+2\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2}}}}\end{array}$

Jadi, p+2=2.

---

No. 5

Agar grafik fungsi {y=x^2+2x-a+3} seluruhnya berada di bawah grafik fungsi {y=2x^2+ax+1}, maka nilai a haruslah ....

1. a\gt2
2. -6\lt a\lt2
3. 2\lt a\lt6

4. {a\lt-6\text{ atau }a\gt2}
5. {a\lt2\text{ atau }a\gt2}

Ganesha Operation

$\begin{array}{rl}{x}^2+2x-a+3& <2x^2+ax+1\\ -x^2+(2-a)x-a+2& <0\end{array}$
Agar grafik fungsi {y=x^2+2x-a+3} seluruhnya berada di bawah grafik fungsi {y=2x^2+ax+1}, maka -x^2+(2-a)x-a+2 harus selalu kurang dari 0, atau dengan kata lain definit negatif. Syarat definit negatif adalah a\lt0 dan D\lt0.

$\begin{array}{rl}D& <0\\ (2-a{)}^2-4(-1)(-a+2)& <0\\ 4-4a+a^2-4a+8& <0\\ a^2-8a+12& <0\\ (a-2)(a-6)& <0\end{array}$
2\lt a\lt6

Jadi, 2\lt a\lt6.
JAWAB: C

---

No. 6

Dua titik dengan {x_1 =-a} dan {x_2 = 3a} dimana {a\neq0}, terletak pada parabola {y=x^2}. Garis g menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis g, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu y di ...

1. -a^2
2. a^2
3. 2a^2

4. 4a^2
5. hatimu

SUMBER

x_1=-a
y_1=(-a)^2=a^2

x_2=3a
y_2=(3a)^2=9a^2

Garis g melalui (-a,a^2) dan (3a,9a^2).

Gradien garis g:
$\begin{array}{rl}{m}_g& ={\displaystyle \frac{9a^2-a^2}{3a-(-a)}}\\ & ={\displaystyle \frac{8a^2}{4a}}\\ & =2a\end{array}$

Misal garis singgung yang sejajar garis g adalah garis h dan titik singgungnya adalah titik A, maka
m_h=m_g=2a

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =2x\\ m_h& =2x_A\\ 2a& =2x_A\\ x_A& =a\end{array}$

$\begin{array}{rl}{y}_A& ={x_A}^2\\ & =a^2\end{array}$

Persamaan garis h (garis singgung):
$\begin{array}{rl}y-y_A& =m_h(x-x_A)\\ y-a^2& =2a(x-a)\\ y-a^2& =2ax-2a^2\\ y& =2ax-a^2\end{array}$

Titik potong garis h terhadap sumbu y adalah (0,-a^2)

Jadi, garis singgung tersebut akan memotong sumbu y di -a^2.

---

No. 7

Jika diketahui garis singgung parabola y= 3x^2 + ax + 1, pada titik x=-2 membentuk sudut terhadap sumbu x sebesar \arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus y= -9x-59 dan parabola tersebut adalah ....

1. 0
2. \dfrac12
3. 1

4. 3
5. \infty

SUMBER

Misal \alpha adalah sudut antara garis singgung terhadap sumbu x.
$\begin{array}{rl}\alpha & =\arctan (6)\\ \tan \alpha & =6\\ m& =6\end{array}$

$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =6x+a\\ m& =6(-2)+a\\ 6& =-12+a\\ a& =18\end{array}$

Persamaan parabolanya adalah:
y=3x^2+18x+1

Titik potong y=3x^2+18x+1 dan y= -9x-59
$\begin{array}{rl}3x^2+18x+1& =-9x-59\\ 3x^2+27x+60& =0\\ x^2+9x+20& =0\\ (x+4)(x+5)& =0\end{array}$
x=-4 dan x=-5

$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \underset{-5}{\overset{-4}{\int }}(-9x-59-(3x^2+18x+1))dx}\\ & ={\displaystyle \underset{-5}{\overset{-4}{\int }}(-9x-59-3x^2-18x-1)dx}\\ & ={\displaystyle \underset{-5}{\overset{-4}{\int }}(-3x^2-27x-60)dx}\\ & ={[-x^3-{\displaystyle \frac{27}{2}}{x}^2-60x]}_{-5}^{-4}\\ & =[-(-4{)}^3-{\displaystyle \frac{27}{2}}(-4{)}^2-60(-4)]-[-(-5{)}^3-{\displaystyle \frac{27}{2}}(-5{)}^2-60(-5)]\\ & =[64-216+240]-[125-{\displaystyle \frac{675}{2}}+300]\\ & =\left[88\right]-[425-337{\displaystyle \frac{1}{2}}]\\ & =88-425+337{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{2}}}}}}\end{array}$

Jadi, luasnya adalah \dfrac12.
JAWAB: B

---

No. 8

Jika grafik fungsi y=-x^2+12x memotong sumbu x di titik A dan B serta C adalah titik puncaknya maka luas segitiga ABC adalah .... satuan luas.

1. 146
2. 186
3. 216

4. 224
5. 236

Titik potong sumbu x
$\begin{array}{rl}-x^2+12x& =0\\ -x(x-12)& =0\end{array}$
x=0 dan x=12

Titik puncak
$\begin{array}{rl}{x}_p& =-{\displaystyle \frac{b}{2a}}\\ & =-{\displaystyle \frac{12}{2(-1)}}\\ & =6\end{array}$

$\begin{array}{rl}{y}_p& =-6^2+12(6)\\ & =-36+72\\ & =36\end{array}$

$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot a\cdot t\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 12\cdot 36\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 216}}}}\end{array}$

Jadi, luas segitiga ABC adalah 216 satuan luas.
JAWAB: C

---

No. 9

Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola y=(x+1)^2 di titik A dan B. Jika P(2,4) adalah titik tengah ruas garis AB maka persamaan garis AB adalah...

1. y=2x
2. y=3x-2
3. y=x+2

4. y=4x-2
5. y=6x-8

y=(x+1)^2=x^2+2x+1

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{x_A+x_B}{2}}& =2\\ x_A+x_B& =4\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{y_A+y_B}{2}}& =4\\ y_A+y_B& =8\end{array}$

Misal persamaan garis AB adalah y=mx+c.

Titik potong antara parabola dan garis,
$\begin{array}{rl}{x}^2+2x+1& =mx+c\\ x^2+(2-m)x+1-c& =0\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}_A+x_B& ={\displaystyle \frac{-(2-m)}{1}}\\ 4& =m-2\\ m& =6\end{array}$

y=mx+c=6x+c

$\begin{array}{rl}{y}_A+y_B& =6(x_A+x_B)+2c\\ 8& =6(4)+2c\\ 8& =24+2c\\ c& =-8\end{array}$

y=6x-8

Jadi, persamaan garis AB adalah y=6x-8.
JAWAB: E

---

No. 10

Banyak parabola {Ax^2+Cy=0} dengan A dan C dua bilangan berbeda dipilih dari {0, 1, 4, 16} adalah

1. 10
2. 8
3. 6

4. 4
5. 3

SUMBER

$\begin{array}{rl}A{x}^2+Cy& =0\\ y& =-{\displaystyle \frac{A}{C}}{x}^2\end{array}$
A,C\neq0

A dan C merupakan permutasi 2 angka dari {1, 4, 16}. Permutasi 2 dari 3 adalah:
$\begin{array}{rl}{P}_2^3& ={\displaystyle \frac{3!}{(3-2)!}}\\ & ={\displaystyle \frac{3\cdot 2\cdot 1}{1!}}\\ & =6\end{array}$

Tapi kita lihat bahwa ada 2 pasang {A, C} yang menghasilkan nilai -\dfrac{A}C yang sama yaitu {{1, 4},{4, 16}} dan {{4, 1}, {16, 4}}. Sehingga totalnya ada
6-2=\boxed{\boxed{4}}

Jadi, Banyak parabola ada 4 buah.
JAWAB: D

• 1
• 2