Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Fungsi Kuadrat tingkat SBMPTN. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.
No. 1
Jika berdasarkan fungsi kuadrat
y=f(x) diketahui
y=f(x+a) menyinggung sumbu-
x di titik
x=10, maka
y=f(x-a) mencapai nilai maksimum pada
x= ....
Misal y=f(x) mencapai maksimum pada x=p
y=f(x+a) mencapai maksimum pada x=10 maka,
\(\eqalign{
p-a&=10\\
p&=a+10
}\)
y=f(x-a) mencapai maksimum pada:
\(\eqalign{
x&=p+a\\
&=a+10+a\\
&=\boxed{\boxed{2a+10}}
}\)
No. 2
Diketahui fungsi kuadrat
{f(x)=-x^2+x+2}. Dua buah garis singgung di titik yang merupakan perpotongan antara
f(x) dan
y=2 membentuk sebuah segitiga dengan garis
y=2. Luas dari segitiga yang terbentuk adalah....
Titik potong f(x) dan y=2
\(\eqalign{-x^2+x+2&=2\\
x^2-x&=0\\
x(x-1)&=0
}\)
x=0 dan x=1
f'(x)=-2x+1
Untuk x=0,
\(\eqalign{
m&=f'(0)\\
&=-2(0)+1\\
&=1\\
\alpha&=45^\circ
}\)
Untuk x=1,
\(\eqalign{
m&=f'(1)\\
&=-2(1)+1\\
&=-1\\
\alpha&=135^\circ
}\)
Segitiga yang terbentuk adalah segitiga siku-siku sama kaki.
\(\eqalign{
L&=\dfrac12(1)\left(\dfrac12\right)\\
&=\dfrac14
}\)
No. 3
Diketahui ordinat titik puncak fungsi kuadrat
{f(x)=ax^2+bx+c} adalah
2. Jika
{f(2)=f(4)=0} maka
{a+b+c=} ....
\(\eqalign{
x_p&=\dfrac{x_1+x_2}2\\
&=\dfrac{2+4}2\\
&=3}\)
f(x)=a(x-2)(x-4)
Melalui (3, 2)
\(\eqalign{
2&=a(3-2)(3-4)\\
2&=a(-1)(1)\\
2&=-a\\
a&=-2
}\)
f(x)=-2(x-2)(x-4)
\(\eqalign{
a+b+c&=f(1)\\
&=-2(1-2)(1-4)\\
&=-2(-1)(-3)\
&=-6
}\)
No. 4
Jika
x dan
y adalah fungsi dari
t dengan
{2x=t+1} dan
{t^2=y-2}, maka
y adalah fungsi kuadrat dalam
x yang grafiknya parabola. Titik puncak parabola ini tercapai bilamana
t=p. Nilai
{p+2=} ....
x=\dfrac12t+\dfrac12
y=t^2+2
\(\begin{aligned}
\dfrac{dy}{dx}&=0\\
\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dt}{dx}&=0\\
(2t)\left(\dfrac12\right)&=0\\
t&=0\\
p&=0
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
p+2&=0+2\\
&=\boxed{\boxed{2}}
\end{aligned}\)
No. 5
Agar grafik fungsi
{y=x^2+2x-a+3} seluruhnya berada di bawah grafik fungsi
{y=2x^2+ax+1}, maka nilai
a haruslah ....
- a\gt2
- -6\lt a\lt2
- 2\lt a\lt6
- {a\lt-6\text{ atau }a\gt2}
- {a\lt2\text{ atau }a\gt2}
\(\begin{aligned}
x^2+2x-a+3&\lt2x^2+ax+1\\
-x^2+(2-a)x-a+2&\lt0
\end{aligned}\)
Agar grafik fungsi {y=x^2+2x-a+3} seluruhnya berada di bawah grafik fungsi {y=2x^2+ax+1}, maka -x^2+(2-a)x-a+2 harus selalu kurang dari 0, atau dengan kata lain definit negatif. Syarat definit negatif adalah a\lt0 dan D\lt0.
\(\begin{aligned}
D&\lt0\\
(2-a)^2-4(-1)(-a+2)&\lt0\\
4-4a+a^2-4a+8&\lt0\\
a^2-8a+12&\lt0\\
(a-2)(a-6)&\lt0
\end{aligned}\)
2\lt a\lt6
No. 6
Dua titik dengan
{x_1 =-a} dan
{x_2 = 3a} dimana
{a\neq0}, terletak pada parabola
{y=x^2}. Garis
g menghubungkan 2 titik tersebut. Jika garis singgung parabola di suatu titik sejajar dengan garis
g, maka garis singgung tersebut akan memotong sumbu
y di ...
x_1=-a
y_1=(-a)^2=a^2
x_2=3a
y_2=(3a)^2=9a^2
Garis g melalui (-a,a^2) dan (3a,9a^2).
Gradien garis g:
\(\begin{aligned}
m_g&=\dfrac{9a^2-a^2}{3a-(-a)}\\
&=\dfrac{8a^2}{4a}\\
&=2a
\end{aligned}\)
Misal garis singgung yang sejajar garis g adalah garis h dan titik singgungnya adalah titik A, maka
m_h=m_g=2a
\(\begin{aligned}
y'&=2x\\
m_h&=2x_A\\
2a&=2x_A\\
x_A&=a
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
y_A&={x_A}^2\\
&=a^2
\end{aligned}\)
Persamaan garis h (garis singgung):
\(\begin{aligned}
y-y_A&=m_h(x-x_A)\\
y-a^2&=2a(x-a)\\
y-a^2&=2ax-2a^2\\
y&=2ax-a^2
\end{aligned}\)
Titik potong garis h terhadap sumbu y adalah (0,-a^2)
No. 7
Jika diketahui garis singgung parabola
y= 3x^2 + ax + 1, pada titik
x=-2 membentuk sudut terhadap sumbu
x sebesar
\arctan(6). Luas daerah yang dibatasi oleh garis lurus
y= -9x-59 dan parabola tersebut adalah ....
Misal \alpha adalah sudut antara garis singgung terhadap sumbu x.
\(\begin{aligned}
\alpha&=\arctan(6)\\
\tan\alpha&=6\\
m&=6
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
y'&=6x+a\\
m&=6(-2)+a\\
6&=-12+a\\
a&=18
\end{aligned}\)
Persamaan parabolanya adalah:
y=3x^2+18x+1
Titik potong y=3x^2+18x+1 dan y= -9x-59
\(\begin{aligned}
3x^2+18x+1&=-9x-59\\
3x^2+27x+60&=0\\
x^2+9x+20&=0\\
(x+4)(x+5)&=0
\end{aligned}\)
x=-4 dan x=-5
\(\begin{aligned}
L&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-9x-59-\left(3x^2+18x+1\right)\right)\ dx\\
&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-9x-59-3x^2-18x-1\right)\ dx\\
&=\displaystyle\intop_{-5}^{-4}\left(-3x^2-27x-60\right)\ dx\\
&=\left[-x^3-\dfrac{27}2x^2-60x\right]_{-5}^{-4}\\
&=\left[-(-4)^3-\dfrac{27}2(-4)^2-60(-4)\right]-\left[-(-5)^3-\dfrac{27}2(-5)^2-60(-5)\right]\\
&=\left[64-216+240\right]-\left[125-\dfrac{675}2+300\right]\\
&=\left[88\right]-\left[425-337\dfrac12\right]\\
&=88-425+337\dfrac12\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac12}}
\end{aligned}\)
No. 8
Jika grafik fungsi
y=-x^2+12x memotong sumbu
x di titik
A dan
B serta
C adalah titik puncaknya maka luas segitiga
ABC adalah .... satuan luas.
Titik potong sumbu x
\(\begin{aligned}
-x^2+12x&=0\\
-x(x-12)&=0
\end{aligned}\)
x=0 dan x=12
Titik puncak
\(\begin{aligned}
x_p&=-\dfrac{b}{2a}\\
&=-\dfrac{12}{2(-1)}\\
&=6
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
y_p&=-6^2+12(6)\\
&=-36+72\\
&=36
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
L&=\dfrac12\cdot a\cdot t\\
&=\dfrac12\cdot12\cdot36\\
&=\boxed{\boxed{216}}
\end{aligned}\)
No. 9
Garis lurus dengan gradien positif memotong parabola
y=(x+1)^2 di titik
A dan
B. Jika
P(2,4) adalah titik tengah ruas garis
AB maka persamaan garis
AB adalah...
y=(x+1)^2=x^2+2x+1
\(\begin{aligned}
\dfrac{x_A+x_B}2&=2\\
x_A+x_B&=4
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
\dfrac{y_A+y_B}2&=4\\
y_A+y_B&=8
\end{aligned}\)
Misal persamaan garis AB adalah y=mx+c.
Titik potong antara parabola dan garis,
\(\begin{aligned}
x^2+2x+1&=mx+c\\
x^2+(2-m)x+1-c&=0
\end{aligned}\)
\(\begin{aligned}
x_A+x_B&=\dfrac{-(2-m)}{1}\\[8pt]
4&=m-2\\
m&=6
\end{aligned}\)
y=mx+c=6x+c
\(\begin{aligned}
y_A+y_B&=6(x_A+x_B)+2c\\
8&=6(4)+2c\\
8&=24+2c\\
c&=-8
\end{aligned}\)
y=6x-8
No. 10
Banyak parabola
{Ax^2+Cy=0} dengan
A dan
C dua bilangan berbeda dipilih dari {0, 1, 4, 16} adalah
\(\begin{aligned}
Ax^2+Cy&=0\\
y&=-\dfrac{A}Cx^2
\end{aligned}\)
A,C\neq0
A dan C merupakan permutasi 2 angka dari {1, 4, 16}. Permutasi 2 dari 3 adalah:
\(\begin{aligned}
P_2^3&=\dfrac{3!}{(3-2)!}\\[8pt]
&=\dfrac{3\cdot2\cdot1}{1!}\\[8pt]
&=6
\end{aligned}\)
Tapi kita lihat bahwa ada 2 pasang {A, C} yang menghasilkan nilai -\dfrac{A}C yang sama yaitu {{1, 4},{4, 16}} dan {{4, 1}, {16, 4}}. Sehingga totalnya ada
6-2=\boxed{\boxed{4}}
0 Komentar
Silahkan berkomentar dengan santun di sini. Anda juga boleh bertanya soal matematika atau mengoreksi jawaban di atas