SBMPTN Zone : Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai persamaan kuadrat tipe SBMPTN. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

• 1
• 2

No. 1

Jika m dan n merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat {x^2-6x+2=0}, maka persamaan kuadrat baru dengan akar-akar \left(\dfrac1m+\dfrac1n\right)^{mn} dan (mn)^{\left(\frac1m+\frac1n\right)} adalah....

1. {x^2-17x+72=0}
2. {x^2-13x+36=0}
3. {x^2-8x+16=0}

4. {x^2-5x+6=0}
5. {x^2-2x+6=0}

a=1, b=-6, c=2

\(\begin{aligned} m+n&=-\dfrac{b}a\\[4pt] &=-\dfrac{-6}1\\[4pt] &=6 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} mn&=\dfrac{c}a\\[4pt] &=\dfrac21\\[4pt] &=2 \end{aligned}\)

Misal p=\left(\dfrac1m+\dfrac1n\right)^{mn} dan q=(mn)^{\left(\frac1m+\frac1n\right)}

\(\begin{aligned} p&=\left(\dfrac1m+\dfrac1n\right)^{mn}\\[4pt] &=\left(\dfrac{m+n}{mn}\right)^{mn}\\[4pt] &=\left(\dfrac{6}{2}\right)^2\\[4pt] &=3^2\\ &=9 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} q&=(mn)^{\left(\frac1m+\frac1n\right)}\\ &=2^3\\ &=8 \end{aligned}\)

Persamaan kuadrat barunya adalah
\(\begin{aligned} x^2-(p+q)x+pq&=0\\ x^2-(9+8)x+9\cdot8&=0\\ x^2-17x+72&=0 \end{aligned}\)

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah {x^2-17x+72=0}.
JAWAB: A

No. 2

Salah satu akar persamaan kuadrat {ax^2+(a+1)x+(a-1)=0}, a\gt0 adalah x_1. Jika akar lainnya {x_2=2x_1}, maka konstanta a= ....

1. 2
2. 1
3. -1

4. -2
5. -3

\begin{aligned} x_1+x_2&=-\dfrac{a+1}a\\[4pt] x_1+2x_1&=-\dfrac{a+1}a\\[4pt] 3x_1&=-\dfrac{a+1}a\\[4pt] x_1&=-\dfrac{a+1}{3a} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_1x_2&=\dfrac{a-1}a\\[4pt] x_1\left(2x_1\right)&=\dfrac{a-1}a\\[4pt] 2{x_1}^2&=\dfrac{a-1}a\\[4pt] 2\left(-\dfrac{a+1}{3a}\right)^2&=\dfrac{a-1}a\\[4pt] 2\left(\dfrac{a^2+2a+1}{9a^2}\right)&=\dfrac{a-1}a\\[4pt] 2\left(a^2+2a+1\right)&=9a^2\left(\dfrac{a-1}a\right)\\[4pt] 2a^2+4a+2&=9a(a-1)\\ 2a^2+4a+2&=9a^2-9a\\ 7a^2-13a-2&=0\\ (7a+1)(a-2)&=0 \end{aligned}\)
a=-\dfrac17\lt0(TM) atau a=2.

Jadi, a=2.
JAWAB: A

No. 3

Misalkan x_1 dan x_2 merupakkan akar-akar persamaan {px^2+qx-1=0}, p\neq0. Jika {\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}=-1} dan {x_1=-\dfrac32x_2}, maka {p+q=} ....

1. -7
2. -5
3. 0

4. 5
5. 7

\(\begin{aligned} \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}&=-1\\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}&=-1\\ \dfrac{-\dfrac32x_2+x_2}{\left(-\dfrac32x_2\right)x_2}&=-1\\ \dfrac{-\dfrac12x_2}{-\dfrac32{x_2}^2}&=-1\\ \dfrac1{3x_2}&=-1\\ 1&=-3x_2\\ x_2&=-\dfrac13 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_1&=-\dfrac32x_2\\ &=-\dfrac32\left(-\dfrac13\right)\\ &=\dfrac12 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} (3x+1)(2x-1)&=0\\ 6x^2-x-1&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} p+q&=6+(-1)\\ &=5 \end{aligned}\)

Jadi, {p+q=5}.
JAWAB: B

No. 4

Hasil jumlah akar-akar persamaan yang dinyatakan dengan \(\begin{vmatrix}2x-2 &x+1 \\x+2 & x\end{vmatrix}=1\) adalah ....

\(\begin{aligned} \begin{vmatrix}2x-2 &x+1 \\x+2 & x\end{vmatrix}&=1\\ 2x^2-2x-\left(x^2+2x+2\right)&=1\\ 2x^2-2x-x^2-2x-2-1&=0\\ x^2-4x-3&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_1+x_2&=\dfrac{-b}a\\ &=\dfrac{-(-4)}1\\ &=4 \end{aligned}\)

Jadi, hasil jumlah akar-akarnya adalah 4.

No. 5

Akar-akar persamaan kuadrat {x^2-2x+n=0} adalah p dan q dengan {2p+q=6}. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya pq dan {p+q} adalah ....

1. {x^2-6x-10=0}
2. {x^2+6x-16=0}
3. {x^2-6x+2=0}

4. {x^2+6x-4=0}
5. {x^2-4x-2=0}

Ganesha Operation

{a=1}, {b=-2}, {c=n}

\(\begin{aligned} p+q&=-\dfrac{b}a\\ &=-\dfrac{-2}1\\ &=2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 2p+q&=6\\ p+q&=2\qquad-\\\hline p&=4 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} p+q&=2\\ 4+q&=2\\ q&=-2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} pq&=(4)(-2)\\ &=-8 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} p+q+pq&=2+(-8)\\ &=-6 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} (p+q)(pq)&=(2)(-8)\\ &=-16 \end{aligned}\)

Persamaan kuadrat barunya,
\(\begin{aligned} x^2-(-6)x+(-16)&=0\\ x^2+6x-16&=0 \end{aligned}\)

Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah {x^2+6x-16=0}.
JAWAB: B

No. 6

Jika x memenuhi persamaan {\sqrt{\dfrac1{125}}}^{(5x)}=\dfrac{5^{(2x-3)}}{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt5}}}{\sqrt{\dfrac1{625}}}^{(x-1)} dan y memenuhi persamaan ^9\negthinspace\log\left({^3\negthinspace\log y}\right)={^3\negthinspace\log\left({^9\negthinspace\log y}\right)}, maka persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 4x dan \sqrt{y} adalah

1. {a^2-2a + 1}
2. {a^2 + 2a + 1}
3. {a^2 -4a + 3}

4. {a^2 + 10a + 9}
5. {a^2-10a + 9}

\(\begin{aligned} {\sqrt{\dfrac1{125}}}^{(5x)}&=\dfrac{5^{(2x-3)}}{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt5}}}{\sqrt{\dfrac1{625}}}^{(x-1)}\\ {\sqrt{\dfrac1{5^3}}}^{(5x)}&=\dfrac{5^{(2x-3)}}{5^{\frac12}\cdot5^{\frac1{2\cdot2}}\cdot5^{\frac1{2\cdot2\cdot2}}}{\sqrt{\dfrac1{5^4}}}^{(x-1)}\\[10pt] \sqrt{5^{-3}}^{(5x)}&=\dfrac{5^{(2x-3)}}{5^{\frac12}\cdot5^{\frac14}\cdot5^{\frac18}}\sqrt{5^{-4}}^{(x-1)}\\[10pt] \left(5^{-\frac32}\right)^{(5x)}&=\dfrac{5^{(2x-3)}}{5^{\frac12+\frac14+\frac18}}\left(5^{-2}\right)^{(x-1)}\\[10pt] 5^{-\frac{15x}2}&=\dfrac{5^{(2x-3)}}{5^{\frac78}}\left(5^{-2x+2}\right)\\[10pt] 5^{-\frac{15x}2}&=5^{(2x-3)-\frac78+(-2x+2)}\\ 5^{-\frac{15x}2}&=5^{-\frac{15}8}\\ -\dfrac{15x}2&=-\dfrac{15}8\\ x&=\dfrac14\\ 4x&=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} ^9\negthinspace\log\left({^3\negthinspace\log y}\right)&={^3\negthinspace\log\left({^9\negthinspace\log y}\right)}\\ ^9\negthinspace\log\left({^3\negthinspace\log y}\right)&={^{3^2}\negthinspace\log\left({^{3^2}\negthinspace\log y}\right)^2}\\ ^9\negthinspace\log\left({^3\negthinspace\log y}\right)&={^9\negthinspace\log\left(\dfrac12{^3\negthinspace\log y}\right)^2}\\ ^3\negthinspace\log y&=\dfrac14\left({^3\negthinspace\log y}\right)^2\\ 1&=\dfrac14{^3\negthinspace\log y}\\ ^3\negthinspace\log y&=4\\ y&=3^4\\ &=81\\ \sqrt{y}&=9 \end{aligned}\)

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 1 dan 9 adalah
\(\begin{aligned} (x-1)(x-9)&=0\\ x^2-10x+9&=0 \end{aligned}\)

Jadi, persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar 4x dan \sqrt{y} adalah x^2-10x+9=0.
JAWAB: E

No. 7

Persamaan kuadrat {x^2+2px+p+2=0} mempunyai akar riil, tidak nol dan bertanda sama. Nilai p yang memenuhi adalah

1. p\leq-1
2. p\leq2
   
3. p\leq-2 atau p\geq-1
   

4. -2\lt p\leq-1 atau p\geq2
5. p\lt-2 atau -1\leq p\leq2
   

Akar riil : D\geq0
\(\begin{aligned} D&\geq0\\ b^2-4ac&\geq0\\ (2p)^2-4(1)(p+2)&\geq0\\ 4p^2-4p-8&\geq0\\ p^2-p-2&\geq0\\ (p+1)(p-2)&\geq0 \end{aligned}\)
pembuat nol: p=-1 dan p=2


Tidak nol dan bertanda sama:
\(\begin{aligned} x_1x_2&\gt0\\ \dfrac{c}a&\gt0\\ \dfrac{p+2}1&\gt0\\ p+2&\gt0\\ p&\gt-2 \end{aligned}\)


iriskan kedua garis bilangan:

-2\lt p\leq-1 atau p\geq2

Jadi, -2\lt p\leq-1 atau p\geq2.
JAWAB: D

No. 8

Jika jumlah kebalikan akar-akar persamaan {x^2-8x+(c-1)=0} sama dengan jumlah kuadrat akar-akar real persamaan {x^2-2x-c=0}, maka nilai c sama dengan

1. -3
2. -1
3. \dfrac12

4. 2
5. 3

SKMP Juli 2020

Syarat mempunyai akar real adalah D\geq0.
\(\begin{aligned} D&\geq0\\ (-2)^2-4(1)(-c)&\geq0\\ 4+4c&\geq0\\ 4c&\geq-4\\ c&\geq-1 \end{aligned}\)

Misal akar-akar x^2-8x+(c-1)=0 adalah x_1 dan x_2.
x_1+x_2=-\dfrac{b}a=-\dfrac{-8}1=8
x_1x_2=\dfrac{c}a=\dfrac{c-1}1=c-1

Misal akar-akar x^2-2x-c=0 adalah x_3 dan x_4.
x_3+x_4=-\dfrac{b}a=-\dfrac{-2}1=2
x_3x_4=\dfrac{c}a=\dfrac{-c}1=-c

\(\begin{aligned} \dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}&={x_3}^2+{x_4}^2\\ \dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}&=\left(x_3+x_4\right)^2-2x_3x_4\\ \dfrac8{c-1}&=\left(2\right)^2-2(-c)\\ \dfrac8{c-1}&=4+2c\\ 8&=4c+2c^2-4-2c\\ 8&=2c^2+2c-4\\ 2c^2+2c-12&=0\\ c^2+c-6&=0\\ (c+3)(c-2)&=0 \end{aligned}\)
c=-3\lt-1 (TM) atau c=2

Jadi, c=2.
JAWAB: D

No. 9

Agar grafik fungsi {y=x^2+2x-5} seluruhnya di bawah grafik fungsi {y=2x^2-ax+2a+4} maka nilai a

1. {-4\lt a\lt8}
2. {-8\lt a\lt4}
   
3. {a\lt-8} atau {a\gt-4}
   

4. {a\lt8}
5. {a\gt-4}
   

\(\begin{aligned} x^2+2x-5&=2x^2-ax+2a+4\\ x^2-(a+2)x+9&=0 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} D&\lt0\\ b^2-4ac&\lt0\\ (-(a+2))^2-4(1)(9)&\lt0\\ a^2+4a+4-36&\lt0\\ a^2+4a-32&\lt0\\ (a+8)(a-4)&\lt0\\ \boxed{\boxed{-8\lt a\lt4}} \end{aligned}\)

Jadi, -8\lt a\lt4.
JAWAB: B

---

No. 10

Diketahui x_1 dan x_2 merupakan akar-akar persamaan {x^2 + 5x + a = 0} dengan x_1 dan x_2 kedua-duanya tidak sama dengan nol. x_1, 2x_2, dan -3x_1x_2 masing-masing merupakan suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret geometri dengan rasio positif, maka nilai a sama dengan....

1. -6
2. 2
3. 6

4. -6 atau 6
5. 2 atau 3

\(\begin{aligned} \left(2x_2\right)^2&=x_1\cdot\left(-3x_1x_2\right)\\ 4{x_2}^2&=-3{x_1}^2x_2\\ 4x_2&=-3{x_1}^2\\ x_2&=-\dfrac34{x_1}^2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_1+x_2&=-\dfrac{b}a\\[8pt] x_1-\dfrac34{x_1}^2&=-\dfrac51\\[8pt] -\dfrac34{x_1}^2+x_1&=-5\\[8pt] -\dfrac34{x_1}^2+x_1+5&=0\\[8pt] 3{x_1}^2-4x_1-20&=0\\ (3x_1-10)(x_1+2)&=0 \end{aligned}\)
x_1=\dfrac{10}3 atau x_1=-2

• Untuk x_1=\dfrac{10}3,
  \(\begin{aligned} x_2&=-\dfrac34{x_1}^2\\[8pt] &=-\dfrac34\left(\dfrac{10}3\right)^2\\[8pt] &=-\dfrac34\left(\dfrac{100}9\right)\\[8pt] &=-\dfrac{25}3 \end{aligned}\)
  
  \(\begin{aligned} r&=\dfrac{2x_2}{x_1}\\[8pt] &=\dfrac{2\left(-\dfrac{25}3\right)}{\dfrac{10}3}{\color{red}\lt0} \end{aligned}\)
  kontradiktif
• Untuk x_1=-2,
  \(\begin{aligned} x_2&=-\dfrac34{x_1}^2\\[8pt] &=-\dfrac34(-2)^2\\[8pt] &=-3 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} x_1x_2&=\dfrac{c}a\\[8pt] (-2)(-3)&=\dfrac{a}1\\[8pt] 6&=a\\ a&=\boxed{\boxed{6}} \end{aligned}\)

Jadi, a=6.
JAWAB: C

• 1
• 2