Exercise Zone : Teorema Sisa (Remainder Theorem)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Teorema Sisa tipe standar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No. 1

Diketahui suku banyak {P(x) = 2x^4 + ax^3-3x^2 + 5x + b}. Jika P(x) dibagi {(x − 1)} sisa 11, dibagi {(x + 1)} sisa -1, maka nilai {(2a + b) =}

1. 13
2. 10
   
3. 8
   

4. 7
5. 6
   

GANESHA OPERATION

\(\begin{aligned} P(1)&=11\\ 2(1)^4 + a(1)^3-3(1)^2 + 5(1) + b&=11\\ 2 + a-3+ 5+ b&=11\\ a+b&=7 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned}P(-1)&=-1\\ 2(-1)^4 + a(-1)^3-3(-1)^2 + 5(-1) + b&=-1\\ 2 -a-3-5+ b&=-1\\ -a+b&=5 \end{aligned}\)

CARA BIASA	CARA CEPAT
\(\begin{aligned} a+b&=7\\ -a+b&=5\qquad&+\\\hline 2b&=12\\ b&=6\end{aligned}\) \(\begin{aligned} a+b&=7\\ a+6&=7\\ a&=1 \end{aligned}\) \(\begin{aligned} 2a+b&=2(1)+6\\ &=2+6\\ &=\boxed{\boxed{8}} \end{aligned}\)	\(\begin{aligned} a+b&=7\qquad&\times3\\ -a+b&=5\qquad&\times-1\end{aligned}\) \(\begin{aligned} 3a+3b&=21\\ a-b&=-5\qquad&+\\\hline 4a+2b&=16\\ 2a+b&=\boxed{\boxed{8}} \end{aligned}\)

Jadi, 2a+b=8.
JAWAB: C

No. 2

Jika f(x) dibagi {(x-3)} sisanya 5 sedangkan jika dibagi {(x+1)} sisanya 1. Jika f(x) dibagi dengan {x^2-2x-3} sisanya adalah

1. {x+2}
2. {2x+3}
   
3. {3x-1}
   

4. {2x+1}
5. {x+3}
   

f(3)=5
f(-1)=1
Misal f(x) dibagi x^2-2x-3 sisanya adalah ax+b

x^2-2x-3(x-3)(x+1)

f(3)=3a+b=5
f(-1)=-a+b=1

\(\begin{aligned} 3a+b&=5\\ -a+b&=1&\qquad-\\\hline 4a&=4\\ a&=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} -a+b&=1\\ -1+b&=1\\ b&=2 \end{aligned}\) JAWAB: A

No. 3

Jika {f(x)=ax^3+2bx^2-bx+2} dibagi dengan {(x-1)} sisanya 3, sedangkan jika dibagi dengan {(x-2)} sisanya -4. Nilai {2a+b} adalah

1. 5
2. -5
   
3. -7
   

4. -12
5. 1
   

\(\begin{aligned} f(1)&=3\\ a(1)^3+2b(1)^2-b(1)+2&=3\\ a+2b-b+2&=3\\ a+b&=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f(2)&=-4\\ a(2)^3+2b(2)^2-b(2)+2&=-4\\ 8a+8b-2b+2&=-4\\ 8a+6b&=-6\\ 4a+3b&=-3 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} a+b&=1\qquad&\color{red}{\times3}\\ 4a+3b&=-3 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 3a+3b&=3\\ 4a+3b&=-3\qquad-\\\hline -a&=6\\ a&=-6 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} a+b&=1\\ -6+b&=1\\ b&=7 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 2a+b&=2(-6)+7\\ &=-12+7\\ &=\boxed{\boxed{-5}} \end{aligned}\)

Jadi, 2a+b=-5.
JAWAB: B

No. 4

Jika {f(x)=ax^3+3bx^2+(2a-b)x+4} dibagi dengan {(x-1)} sisanya 10, sedangkan jika dibagi dengan {(x+2)} sisanya 2. Nilai {a+b} adalah

1. 1
2. \dfrac43
   
3. \dfrac73
   

4. 2
5. 3
   

\(\begin{aligned} f(1)&=10\\ a(1)^3+3b(1)^2+(2a-b)(1)+4&=10\\ a+3b+2a-b+4&=10\\ 3a+2b&=6 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} f(-2)&=2\\ a(-2)^3+3b(-2)^2+(2a-b)(-2)+4&=2\\ -8a+12b-4a+2b+4&=2\\ -12a+14b&=-2\\ 6a-7b&=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 3a+2b&=6\qquad&\color{red}{\times2}\\ 6a-7b&=1 \end{aligned}\)

\begin{aligned} 6a+4b&=12\\ 6a-7b&=1\qquad-\\\hline 11b&=11\\ b&=1 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 3a+2b+b&=6+1\\ 3a+3b&=7\\ a+b&=\boxed{\boxed{\dfrac73}} \end{aligned}\)

Jadi, a+b=\dfrac73.
JAWAB: C

No. 5

Suku banyak f(x) dibagi {(x+1)} sisanya -2 dan dibagi {(x-3)} sisa 7, suku banyak g(x) dibagi {(x+1)} sisa 3 dan dibagi {(x-3)} sisa 2. Diketahui {h(x)=f(x)\cdot g(x)}, jika h(x) dibagi \left(x^2-2x-3\right) sisanya adalah

1. S(x)=3x-1
2. S(x)=4x-1
   
3. S(x)=5x-1
   

4. S(x)=6x-1
5. S(x)=7x+2
   

f(-1)=-2
f(3)=7
g(-1)=3
g(3)=2

Misal sisanya adalah ax+b

x^2-2x-3=(x+1)(x-3)

\begin{aligned}
h(-1)=a(-1)+b&=f(-1)g(-1)\\
-a+b&=(-2)(3)\\
-a+b&=-6
\end{aligned}

\begin{aligned}
h(3)=a(3)+b&=f(3)g(3)\\
3a+b&=(7)(2)\\
3a+b&=14
\end{aligned}

\begin{aligned}
3a+b&=14\\
-a+b&=-6\qquad&-\\\hline
4a&=20\\
a&=5
\end{aligned}

\begin{aligned}
-a+b&=-6\\
-5+b&=-6\\
b&=-1
\end{aligned}

Jadi, sisanya adalah S(x)=5x-1.
JAWAB: C

No. 6

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh x-2 menghasilkan sisa 10, sisa pembagian suku banyak f(x) oleh {x^2-3x+2} adalah...

1. {f(1)(2-x)-10(x-1)}
2. {f(1)(x-2)+10(x-1)}
   
3. {f(1)(x-2)-10(x+1)}
   

4. {f(1)(2-x)+10(x-1)}
5. {f(1)(2-x)-10(x+1)}
   

f(2)=10.

x^2-3x+2=(x-1)(x-2)

Sisanya adalah,
\begin{aligned}
S(x)&=\dfrac{x-a}{b-a}f(b)+\dfrac{x-b}{a-b}f(a)\\[4pt]
&=\dfrac{x-1}{2-1}f(2)+\dfrac{x-2}{1-2}f(1)\\[4pt]
&=\dfrac{x-1}110+\dfrac{x-2}{-1}f(1)\\[4pt]
&=10(x-1)+f(1)(2-x)\\
&=\boxed{\boxed{f(1)(2-x)+10(x-1)}}
\end{aligned}

Jadi, sisa pembagian suku banyak f(x) oleh {x^2-3x+2} adalah {f(1)(2-x)+10(x-1)}.
JAWAB: D