Aplikasi Turunan --- Nilai Maksimum dan Minimum : Soal dan Pembahasan

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai aplikasi turunan (nilai maksimum dan minimum). Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

1

Total penjualan suatu barang \left(k\right) merupakan perkalian antara harga (h) dan permintaan (x) atau ditulis k=hx. Jika h=60-x dalam ribuan rupiah untuk 1\leq x\leq50, maka total penjualan maksimum sebesar....

1. Rp3.600.000,00
2. Rp1.800.000,00
   
3. Rp900.000,00
   

4. Rp600.000,00
5. Rp300.000,00
   

$\eqalign{
k&=hx\\
&=(60-x)x\\
&=60x-x^2
}$

CARA 1

k_{\max}\Rightarrow k'=0

$\eqalign{
60-2x&=0\\
2x&=60\\
x&=30
}$

$\eqalign{
k_{\max}&=(60-30)30\\
&=900
}$

CARA 2

$\eqalign{
(60-x)x&\leq\left(\dfrac{60-x+x}2\right)^2\\
&\leq\left(\dfrac{60}2\right)^2\\
&\leq30^2\\
&\leq900
}$

Jadi, total penjualan maksimumnya adalah Rp900.000,00.
JAWAB: C

---

2

Tentukan nilai minimum dari
2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}

CARA 1 : Menggunakan Turunan

Misal y=2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}
\begin{aligned}
y'&=0-\dfrac{(0)(x^2-4x+5)-10(2x-4)}{(x^2-4x+5)^2}\\[8pt]
&=\dfrac{20x-40}{(x^2-4x+5)^2}
\end{aligned}

y_{\max}\Rightarrow y'=0

\begin{aligned}
\dfrac{20x-40}{(x^2-4x+5)^2}&=0\\
20x-40&=0\\
x&=2
\end{aligned}

\begin{aligned}
y_{\max}&=2019-\dfrac{10}{2^2-4(2)+5}\\[8pt]
&=2019-\dfrac{10}{4-8+5}\\[8pt]
&=2019-\dfrac{10}1\\[8pt]
&=2019-10\\
&=\boxed{\boxed{2009}}
\end{aligned}

CARA 2

\begin{aligned}
y&=2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}\\[8pt]
&=2019-\dfrac{10}{x^2-4x+4+1}\\[8pt]
&=2019-\dfrac{10}{(x-2)^2+1}
\end{aligned}

y mencapai maksimum saat (x-2)^2 mencapai minimum. Kita tahu bahwa (x-2)^2\geq0 sehingga nilai minimum dari (x-2)^2 adalah 0.

\begin{aligned}
y_{\max}&=2019-\dfrac{10}{0+1}\\[8pt]
&=2019-\dfrac{10}1\\[8pt]
&=2019-10\\
&=\boxed{\boxed{2009}}
\end{aligned}

Jadi, nilai minimum dari {2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}} adalah 2009.

---

No. 3

Nilai maksimum dari f(x)={^2\negmedspace\log}(x-1)+{^2\negmedspace\log}(-x-3) adalah

1. 0
2. 1
   
3. 2
   

4. 3
5. 4
   

\begin{aligned}
f(x)&={^2\negmedspace\log}(x-1)+{^2\negmedspace\log}(-x-3)\\
&={^2\negmedspace\log}\left((x-1)(-x-3)\right)\\
&={^2\negmedspace\log}\left(-x^2-3x+x+3\right)\\
&={^2\negmedspace\log}\left(-x^2-2x+3\right)
\end{aligned}
Karena fungsi \log dengan basis lebih dari 1 adalah fungsi naik, maka kita cari dahulu nilai maksimum dari -x^2-2x+3
Misal p=-x^2-2x+3
mencari p_{\max} berarti p'=0
\begin{aligned}
-2x-2&=0\\
-2x&=2\\
x&=-1
\end{aligned}

\begin{aligned}
f(x)_{\max}&={^2\negmedspace\log}\left(-(-1)^2-2(-1)+3\right)\\
&={^2\negmedspace\log}\left(-1+2+3\right)\\
&={^2\negmedspace\log}4\\
&=\boxed{\boxed{2}}
\end{aligned}

Jadi, nilai maksimum dari f(x)={^2\negmedspace\log}(x-1)+{^2\negmedspace\log}(-x-3) adalah 2.
JAWAB: C

---

No. 4

Jika f(x)=3-x^2 dan g(x)=-2x+4, maka nilai minimum fungsi \left(f\circ g\right)(x) adalah

1. 6
2. 5
   
3. 4
   

4. 3
5. 2
   

\begin{aligned}
\left(f\circ g\right)(x)&=f\left(g(x)\right)\\
&=f\left(-2x+4\right)\\
&=3-(-2x+4)^2
\end{aligned}

\begin{aligned}
\left(f\circ g\right)'(x)&=0\\
-2(-2x+4)(-2)&=0\\
-8x+16&=0\\
8x&=16\\
x&=2
\end{aligned}

\begin{aligned}
\left(f\circ g\right)(2)&=3-(-2(2)+4)^2\\
&=3-(-4+4)^2\\
&=3-(0)^2\\
=\boxed{\boxed{3}}
\end{aligned}

Jadi, nilai minimum fungsi \left(f\circ g\right)(x) adalah 3.
JAWAB: D

---

No. 5

Tinggi h meter dari suatu peluru yang ditembakan vertikal ke atas dalam waktu t detik dinyatakan sebagai h(t) = 8t-2t^2. Tinggi maksimum peluru tersebut adalah

1. 14 m
2. 12 m
   
3. 10 m
   

4. 8 m
5. 6 m
   

Maksimum h(t) tercapai saat h'(t)=0
\begin{aligned}
h'(t)&=0\\
8-4t&=0\\
t&=2
\end{aligned}

\begin{aligned}
h_{\max}&=8(2)-2(2)^2\\
&=16-8\\
&=\boxed{\boxed{8}}
\end{aligned}

Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah 8 m.
JAWAB: D

LIHAT JUGA:
TURUNAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

3