Aplikasi Turunan --- Nilai Maksimum dan Minimum : Soal dan Pembahasan

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai aplikasi turunan (nilai maksimum dan minimum). Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

1

Total penjualan suatu barang \left(k\right) merupakan perkalian antara harga (h) dan permintaan (x) atau ditulis k=hx. Jika h=60-x dalam ribuan rupiah untuk 1\leq x\leq50, maka total penjualan maksimum sebesar....

1. Rp3.600.000,00
2. Rp1.800.000,00
   
3. Rp900.000,00
   

4. Rp600.000,00
5. Rp300.000,00
   

$\begin{array}{rl}k& =hx\\ & =(60-x)x\\ & =60x-x^2\end{array}$

CARA 1

k_{\max}\Rightarrow k'=0

$\begin{array}{rl}60-2x& =0\\ 2x& =60\\ x& =30\end{array}$

$\begin{array}{rl}{k}_{max}& =(60-30)30\\ & =900\end{array}$

CARA 2

$\begin{array}{rl}(60-x)x& \le {\left({\displaystyle \frac{60-x+x}{2}}\right)}^2\\ & \le {\left({\displaystyle \frac{60}{2}}\right)}^2\\ & \le {30}^2\\ & \le 900\end{array}$

Jadi, total penjualan maksimumnya adalah Rp900.000,00.
JAWAB: C

---

2

Tentukan nilai minimum dari
2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}

CARA 1 : Menggunakan Turunan

Misal y=2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}
$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =0-{\displaystyle \frac{(0)(x^2-4x+5)-10(2x-4)}{(x^2-4x+5{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{20x-40}{(x^2-4x+5{)}^2}}\end{array}$$

y_{\max}\Rightarrow y'=0

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{20x-40}{(x^2-4x+5{)}^2}}& =0\\ 20x-40& =0\\ x& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =2019-{\displaystyle \frac{10}{2^2-4(2)+5}}\\ & =2019-{\displaystyle \frac{10}{4-8+5}}\\ & =2019-{\displaystyle \frac{10}{1}}\\ & =2019-10\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2009}}}}\end{array}$$

CARA 2

$$\begin{array}{rl}y& =2019-{\displaystyle \frac{10}{x^2-4x+5}}\\ & =2019-{\displaystyle \frac{10}{x^2-4x+4+1}}\\ & =2019-{\displaystyle \frac{10}{(x-2{)}^2+1}}\end{array}$$

y mencapai maksimum saat (x-2)^2 mencapai minimum. Kita tahu bahwa (x-2)^2\geq0 sehingga nilai minimum dari (x-2)^2 adalah 0.

$$\begin{array}{rl}{y}_{max}& =2019-{\displaystyle \frac{10}{0+1}}\\ & =2019-{\displaystyle \frac{10}{1}}\\ & =2019-10\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2009}}}}\end{array}$$

Jadi, nilai minimum dari {2019-\dfrac{10}{x^2-4x+5}} adalah 2009.

---

No. 3

Nilai maksimum dari f(x)={^2\negmedspace\log}(x-1)+{^2\negmedspace\log}(-x-3) adalah

1. 0
2. 1
   
3. 2
   

4. 3
5. 4
   

$$\begin{array}{rl}f(x)& ={}^2\log (x-1)+{}^2\log (-x-3)\\ & ={}^2\log ((x-1)(-x-3))\\ & ={}^2\log (-x^2-3x+x+3)\\ & ={}^2\log (-x^2-2x+3)\end{array}$$
Karena fungsi \log dengan basis lebih dari 1 adalah fungsi naik, maka kita cari dahulu nilai maksimum dari -x^2-2x+3
Misal p=-x^2-2x+3
mencari p_{\max} berarti p'=0
$$\begin{array}{rl}-2x-2& =0\\ -2x& =2\\ x& =-1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(x{)}_{max}& ={}^2\log (-(-1{)}^2-2(-1)+3)\\ & ={}^2\log (-1+2+3)\\ & ={}^2\log 4\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2}}}}\end{array}$$

Jadi, nilai maksimum dari f(x)={^2\negmedspace\log}(x-1)+{^2\negmedspace\log}(-x-3) adalah 2.
JAWAB: C

---

No. 4

Jika f(x)=3-x^2 dan g(x)=-2x+4, maka nilai minimum fungsi \left(f\circ g\right)(x) adalah

1. 6
2. 5
   
3. 4
   

4. 3
5. 2
   

$$\begin{array}{rl}(f\circ g)(x)& =f(g(x))\\ & =f(-2x+4)\\ & =3-(-2x+4{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{(f\circ g)}^{\prime }(x)& =0\\ -2(-2x+4)(-2)& =0\\ -8x+16& =0\\ 8x& =16\\ x& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(f\circ g)(2)& =3-(-2(2)+4{)}^2\\ & =3-(-4+4{)}^2\\ & =3-(0{)}^2\\ =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 3}}}}\end{array}$$

Jadi, nilai minimum fungsi \left(f\circ g\right)(x) adalah 3.
JAWAB: D

---

No. 5

Tinggi h meter dari suatu peluru yang ditembakan vertikal ke atas dalam waktu t detik dinyatakan sebagai h(t) = 8t-2t^2. Tinggi maksimum peluru tersebut adalah

1. 14 m
2. 12 m
   
3. 10 m
   

4. 8 m
5. 6 m
   

Maksimum h(t) tercapai saat h'(t)=0
$$\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(t)& =0\\ 8-4t& =0\\ t& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{h}_{max}& =8(2)-2(2{)}^2\\ & =16-8\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 8}}}}\end{array}$$

Jadi, tinggi maksimum peluru tersebut adalah 8 m.
JAWAB: D

LIHAT JUGA:
TURUNAN TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

3