SBMPTN Zone : Lingkaran

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai lingkaran tipe SBMPTN. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook dan Telegram.

Tipe:

SBMPTN HOTS

No. 1

Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius 3\sqrt2 melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius 6. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah.....

1. 18\pi+18
2. 14\pi-15
3. 18\pi-18

4. 10\pi+10
5. 14\pi+14

SBMPTN 2017

$\begin{array}{rl}L& ={\displaystyle \frac{1}{2}}{L}_{\text{lingk. kecil}}+L_{\text{tembereng}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi {\left(3\sqrt{2}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}\pi (6{)}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}(6{)}^2\\ & =9\pi +9\pi -18\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 18\pi -18}}}}\end{array}$

Jadi, luas daerah irisan kedua lingkaran adalah 18\pi-18.
JAWAB: B

No. 2

Jarak minimal titik pada lingkaran (x+5)^2+(y-12)^2=196 ke titik (0,0) adalah

1. 1
2. \sqrt2
3. \dfrac12

4. 13
5. 14

Titik pusat (-5,12)
Jari-jari:
$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{196}\\ & =14\end{array}$

Misal p adalah jarak minimal lingkaran ke titik (0,0)
$\begin{array}{rl}p& =|\sqrt{(-5{)}^2+{12}^2}-14|\\ & =|\sqrt{25+144}-14|\\ & =|\sqrt{169}-14|\\ & =|13-14|\\ & =|-1|\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1}}}}\end{array}$

Jadi, jarak minimal titik pada lingkaran (x+5)^2+(y-12)^2=196 ke titik (0,0) adalah 1.
JAWAB: A

No. 3

Jarak minimal titik pada lingkaran {(x-3)^2}+{(y+2)^2}=16 ke titik {(6,2)} adalah

1. 1
2. 2
3. 3

4. 6
5. 7

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{16}\\ & =4\end{array}$

Misal p adalah jarak lingkaran ke titik (6,2)
$\begin{array}{rl}p& =\sqrt{(3-6{)}^2+(-2-2{)}^2}-4\\ & =\sqrt{(-3{)}^2+(-4{)}^2}-4\\ & =\sqrt{9+16}-4\\ & =\sqrt{25}-4\\ & =5-4\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1}}}}\end{array}$

Jadi, jarak minimal titik pada lingkaran {(x-3)^2}+{(y+2)^2}=16 ke titik {(6,2)} adalah 1.
JAWAB: A

No. 4

Diberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat (a.b) dan memotong sumbu-X di titik (3,0) dan (9,0). Jika garis yang melalui titik (0,3) menyinggung lingkaran di titik (3,0) maka nilai a^2-b^2 adalah

1. 9
2. 18
3. 27

4. 36
5. 45

a=\dfrac12(3+9)=6

misal g adalah garis yang melalui (3,0) dan (0,3).
Gradien garis g adalah
$\begin{array}{rl}{m}_1& ={\displaystyle \frac{3-0}{0-3}}\\ & =-1\end{array}$

Misal garis h adalah garis yang tegak lurus dengan garis g dan melalui titik (3,0).
Gradien garis h adalah
$\begin{array}{rl}{m}_2& =-{\displaystyle \frac{1}{m_1}}\\ & =-{\displaystyle \frac{1}{-1}}\\ & =1\end{array}$

Garis h melalui (3,0) dan (6,b) (titik pusat lingkaran).
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{b-0}{6-3}}& =1\\ {\displaystyle \frac{b}{3}}& =1\\ b& =3\end{array}$

$\begin{array}{rl}{a}^2-b^2& =6^2-3^2\\ & =36-9\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 27}}}}\end{array}$

Jadi, a^2-b^2=27.
JAWAB: C

No. 5

Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y=-\sqrt3x+2 dan menyinggung garis y = 2 di (3, 2) adalah

1. (3, 2 + \sqrt3 )
2. (3, 2 + 2 \sqrt3 )
3. (3, 2 + 3 \sqrt3 )

4. (3, 3 \sqrt3)
5. (3, 2 \sqrt3)

SKMP September 2020

Misal titik pusat lingkarannya adalah P(3,b) dengan b\gt2.

Jarak dari P ke garis y=2\rightarrow y-2=0
$\begin{array}{rl}r& =\left|{\displaystyle \frac{b-2}{\sqrt{1^2}}}\right|\\ & =\left|{\displaystyle \frac{b-2}{1}}\right|\\ & =|b-2|\\ & =b-2\end{array}$

Jarak dari P ke garis y=-\sqrt3x+2\rightarrow \sqrt3x+y-2=0
$\begin{array}{rl}r& =\left|{\displaystyle \frac{\sqrt{3}(3)+b-2}{\sqrt{{\left(\sqrt{3}\right)}^2+1^2}}}\right|\\ & =\left|{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}+b-2}{\sqrt{3+1}}}\right|\\ & =\left|{\displaystyle \frac{b-2+3\sqrt{3}}{\sqrt{4}}}\right|\\ & =\left|{\displaystyle \frac{b-2+3\sqrt{3}}{2}}\right|\\ & ={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}+b-2}{2}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}b-2& ={\displaystyle \frac{b-2+3\sqrt{3}}{2}}\\ 2b-4& =b-2+3\sqrt{3}\\ b& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 2+3\sqrt{3}}}}}\end{array}$

Jadi, titik pusat lingkarannya adalah (3, 2 + 3 \sqrt3 ).
JAWAB: C

No. 6

Diketahui persamaan lingkaran C_1 dan C_2 berturut-turut adalah {x^2 + y^2 = 25} dan {(x - a)^2 + y^2 = r^2}. Lingkaran C_1 dan C_2 bersinggungan di titik (5, 0). Jika garis l adalah garis singgung lingkaran C_1 di titik (3, 4) yang merupakan garis singgung juga untuk lingkaran C_2 di titik (m, n), nilai {m+ n =} ....

1. 5
2. 6
3. 7

4. 8
5. 9

SIMAK UI 2019

OA=5

$\begin{array}{rl}O{A}^2& =OB\cdot OC\\ 5^2& =3OC\\ 25& =3OC\\ OC& ={\displaystyle \frac{25}{3}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}DC& ={\displaystyle \frac{25}{3}}-5-r\\ & ={\displaystyle \frac{10}{3}}-r\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{DE}{DC}}& ={\displaystyle \frac{3}{5}}\\ {\displaystyle \frac{r}{{\displaystyle \frac{10}{3}}-r}}& ={\displaystyle \frac{3}{5}}\\ 5r& =10-3r\\ 8r& =10\\ r& ={\displaystyle \frac{10}{8}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{4}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{DE}{EF}}& ={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{4}}}{EF}}& ={\displaystyle \frac{5}{4}}\\ EF& =1\\ n& =1\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{EF}{DF}}& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{DF}}& ={\displaystyle \frac{4}{3}}\\ DF& ={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$

m=5+\dfrac54+\dfrac34=7

m+n=7+1=8

Jadi, {m+ n =8}.
JAWAB: D