HOTS Zone : Sistem Persamaan

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Sistem Persamaan. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Diketahui x, y, z dan t adalah bilangan real tidak nol dan memenuhi persamaan

{x+y+z=t}
{\dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z=\dfrac1t}
{x^3+y^3+z^3=1000^3}

Nilai dari {x+y+z+t} adalah....

\(\eqalign{ \dfrac1x+\dfrac1y+\dfrac1z&=\dfrac1t\\[4pt] \dfrac{xy+yz+xz}{xyz}&=\dfrac1t\\[4pt] xy+yz+xz&=\dfrac{xyz}t }\)

\(\eqalign{ x^3+y^3+z^3&=(x+y+z)^3-3(x+y+z)(xy+yz+xz)+3xyz\\ 1000^3&=t^3-3\left(\cancel{t}\right)\left(\dfrac{xyz}{\cancel{t}}\right)+3xyz\\ 1000^3&=t^3-\cancel{3xyz}+\cancel{3xyz}\\ t&=10 }\)
\(\eqalign{ x+y+z+t&=2t\\ &=2(1000)\\ &=\boxed{\boxed{2000}} }\)

Jadi, nilai dari x+y+z+t adalah 2000.

No.

Diketahui (x,y) memenuhi dua persamaan :
x^3-3x^2+5x+2016=2017
y^3-3y^2+5y+2017=2022
Carilah nilai dari ^{\frac1{16}}\log(x+y)

\(\eqalign{ x^3-3x^2+5x+2016&=2017\\ (x-1)^3+2x&=0\\ (x-1)^3+2(x-1)+2&=0 }\)
Misal p=x-1
p^3+2p+2=0

\(\eqalign{ y^3-3y^2+5y+2017&=2022\\ (y-1)^3+2(y-1)-2&=0 }\)
Misal q=y-1
q^3+2q-2=0

\(\eqalign{ p^3+2p+2&=0\\ q^3+2q-2&=0&\qquad+\\\hline p^3+q^3+2(p+q)&=0\\ (p+q)\left(p^2-pq+q^2\right)+2(p+q)&=0\\ (p+q)\left(p^2-pq+q^2+2\right)&=0\\ p+q&=0\\ x-1+y-1&=0\\ x+y&=2 }\)

Jadi, ^{\frac1{16}}\log(x+y)=2.

No.

p, q, dan r adalah tiga bilangan real yang memenuhi persamaan
p+q+r=9
pqr=10
r^2-p^2-q^2=13
Nilai r yang bulat yang memenuhi persamaan tersebut adalah ....

Facebook

\(\eqalign{ r^2-p^2-q^2&=13\\ p^2+q^2&=r^2-13 }\)

\(\eqalign{ p+q+r&=9\\ (p+q+r)^2&=9^2\\ p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+pr)&=81\\ r^2-13+r^2+2(pq+qr+pr)&=81\\ 2r^2+2(pq+qr+pr)&=94\\ pq+qr+pr&=47-r^2 }\)

p, q, dan r merupakan akar-akar dari:

\(\eqalign{ x^3-9x^2+\left(47-r^2\right)x-10&=0\\ r^3-9r^2+\left(47-r^2\right)r-10&=0\\ r^3-9r^2+47r-r^3-10&=0\\ 9r^2-47r+10&=0\\ (9r-2)(r-5)&=0 }\)

r=\dfrac29 atau r=5

Jadi, nilai r yang bulat yang memenuhi adalah 5.

No.

Diketahui a, b, dan c adalah tiga bilangan real yang memenuhi persamaan
a^2-bc=7
b^2+ac=7
c^2+ab=7
maka a^2+b^2+c^2= ....

Grup Facebook

\(\eqalign{ a^2-bc&=b^2+ac\\ a^2-b^2&=ac+bc\\ (a+b)(a-b)&=(a+b)c\\ a-b&=c\\ a&=b+c }\)

\(\eqalign{ a^2-bc&=7\\ b^2+ac&=7\\ c^2+ab&=7&\qquad+\\\hline a^2+b^2+c^2+ab+ac-bc&=21\\ a^2+b^2+c^2+a(b+c)-bc&=21\\ a^2+b^2+c^2+a(a)-bc&=21\\ a^2+b^2+c^2+a^2-bc&=21\\ a^2+b^2+c^2+7&=21\\ a^2+b^2+c^2&=14 }\)

Jadi, a^2+b^2+c^2=14.

No.

\begin{cases} a(b+c-5)=7\\ b(a+c-5)=7\\ a^2+b^2=50 \end{cases} Carilah nilai (a,b,c)

\begin{aligned} a(b+c-5)&=7\\ ab+ac-5a&=7 \end{aligned}

\begin{aligned} b(a+c-5)&=7\\ ab+bc-5b&=7 \end{aligned}

\begin{aligned} ab+ac-5a&=7\\ ab+bc-5b&=7\qquad-\\\hline (a-b)c-5(a-b)&=0\\ (a-b)(c-5)&=0 \end{aligned}

• Untuk a=b
  \begin{aligned} a^2+b^2&=50\\ a^2+a^2&=50\\ 2a^2&=50\\ a^2&=25\\ a&=\pm5 \end{aligned}
  
  • Untuk a=b=5
    \begin{aligned} a(b+c-5)&=7\\ 5(5+c-5)&=7\\ 5c&=7\\ c&=\dfrac75 \end{aligned}
    (a,b,c)=\left(5,5,\dfrac75\right)
    
  • Untuk a=b=-5
    \begin{aligned} a(b+c-5)&=7\\ -5(-5+c-5)&=7\\ -5(c-10)&=7\\ -5c+50&=7\\ -5c&=-43\\ c&=\dfrac{43}5 \end{aligned}
    (a,b,c)=\left(-5,-5,\dfrac{43}5\right)
    
• Untuk c=5
  \begin{aligned} a(b+c-5)&=7\\ a(b+5-5)&=7\\ ab&=7\\ b&=\dfrac7a \end{aligned}
  
  \begin{aligned} a^2+b^2&=50\\ a^2+\left(\dfrac7a\right)^2&=50\\ a^2+\dfrac{49}{a^2}&=50\\ a^4+49&=50a^2\\ a^4-50a^2+49&=0\\ \left(a^2-1\right)\left(a^2-49\right)&=0 \end{aligned}
  Untuk a^2=1 maka a=\pm1 dan b=\pm7
  (a,b,c)=\{(-1,-7,5),(1,7,5)\}
  Untuk a^2=49 maka a=\pm7 dan b=\pm1
  (a,b,c)=\{(-7,-1,5),(7,1,5)\}
  

Jadi, (a,b,c)=\{\left(5,5,\dfrac75\right),\left(-5,-5,\dfrac{43}5\right),(-1,-7,5),(1,7,5),(-7,-1,5),(7,1,5)\}.

No.

Jika \begin{cases}2a^2+2007a+3=0\\3b^2+2007b+2=0\end{cases} dan {ab\neq1}, tentukan \dfrac{a}b

\begin{aligned} 2a^2+2007a+3&=0\qquad&\color{red}{\times b}\\ 3b^2+2007b+2&=0\qquad&\color{red}{\times a} \end{aligned}

\begin{aligned} 2a^2b+2007ab+3b&=0\\ 3ab^2+2007ab+2a&=0\qquad&\color{red}{-}\\[-3pt]\hline\\[-12pt] 2a^2b-3ab^2+3b-2a&=0\\ ab(2a-3b)+3b-2a&=0\\ (ab-1)(2a-3b)&=0 \end{aligned}

• ab-1=0
  ab=1 TM
• 2a-3b=0
  \begin{aligned} 2a&=3b\\ \dfrac{a}b&=\boxed{\boxed{\dfrac32}} \end{aligned}

Jadi, \dfrac{a}b=\dfrac32.

No.

Jika \begin{cases}2017a^2+2018a+2019=0\\2019b^2+2018b+2017=0\end{cases} dan {ab\neq1}, tentukan \dfrac{a}b

\begin{aligned} 2017a^2+2018a+2019&=0\qquad&\color{red}{\times b}\\ 2019b^2+2018b+2017&=0\qquad&\color{red}{\times a} \end{aligned}

\begin{aligned} 2017a^2b+2018ab+2019b&=0\\ 2019ab^2+2018ab+2017a&=0\qquad&\color{red}{-}\\[-3pt]\hline\\[-12pt] 2017a^2b-2019ab^2+2019b-2017a&=0\\ ab(2017a-2019b)-(2017a-2019b)&=0\\ (ab-1)(2017a-2019b)&=0 \end{aligned}

• ab-1=0
  ab=1 TM
• 2017a-2019b=0
  \begin{aligned} 2017a&=2019b\\ \dfrac{a}b&=\boxed{\boxed{\dfrac{2019}{2017}}} \end{aligned}

Jadi, \dfrac{a}b=\dfrac{2019}{2017}.

No.

Diketahui {x-y=9} dan {2x^2+xy-3y^2=45}. Jika a dan b adalah bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan x dan y, maka hasil kali a dan b adalah ...

1. -18
2. -12

3. 14
4. 18

KSP SMP 2020

x-y=9\qquad(1) \(\eqalign{ \dfrac{2x^2+xy-3y^2}{x-y}&=\dfrac{45}9\\ \dfrac{(x-y)(2x+3y)}{x-y}&=5\\ 2x+3y&=5\qquad(2) }\)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat x=\dfrac{32}5=6{,}4 dan y=-\dfrac{13}5=-2{,}6

a=\lfloor x\rfloor=\lfloor6{,}4\rfloor=6
b=\lfloor x\rfloor=\lfloor-2{,}6\rfloor=-3

a\cdot b=6\cdot(-3)=\boxed{\boxed{-18}}

Jadi, hasil kali a dan b adalah -18. JAWAB: A

No.

Jika {x+y+3\sqrt{x+y}=18} dan {x-y-2\sqrt{x-y}=15}, maka x\cdot y= ....

Diktat Pembinaan Olimpiade

Misal {a=\sqrt{x+y}\gt0} dan {b=\sqrt{x-y}\gt0}

\begin{aligned} a^2+3a&=18\\ a^2+3a-18&=0\\ (a+6)(a-3)&=0 \end{aligned}
a=-6 (TM atau {a=3\rightarrow x+y=9}

\begin{aligned} b^2-2b&=15\\ b^2-2b-15&=0\\ (b+3)(b-5)&=0 \end{aligned}
b=-3 (TM) atau b=5\rightarrow x-y=25

\begin{aligned} x\cdot y&=\dfrac{(x+y)^2-(x-y)^2}4\\ &=\dfrac{9^2-25^2}4\\ &=\dfrac{9^2-25^2}4\\ &=\boxed{\boxed{-136}} \end{aligned}

Jadi, x\cdot y=-136.