HOTS Zone : Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai barisan dan deret aritmetika tingkat olimpiade. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih. Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Aritmetika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

StandarSNBTHOTS

No. 1

Diketahui barisan a₁, a₂, a₃, ⋯, a₂₀ merupakan barisan aritmatika dengan a₁₀ = 79. Apabila a₂ + a₄ + a₆ + ⋯ + a₂₀ = 870, tentukan a₃.

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{a}_{10}& =79\\ a+9b& =79\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{a}_2+a_4+a_6+\cdots +a_{20}& =870\\ a+b+a+3b+a+5b+\cdots +a+19b& =870\\ 10a+(1+3+5+\cdots +19)b& =870\\ 10a+100b& =870\\ a+10b& =87\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}a+10b& =87\\ a+9b& =79& -\\ b& =8\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+9b& =79\\ a+9(8)& =79\\ a+72& =79\\ a& =7\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{a}_3& =a+2b\\ & =7+2(8)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 23}}}}\end{array}$$

Jadi, a₃ = 23.

---

No. 2

Jika $x_{k+1}=x_k+{\displaystyle \frac{1}{9}}$ untuk k = 1, 2, ⋯ dan x₁ = 5 maka x₁ + x₂ + ⋯ + x₁₈₀₀ = ....

OSK 2019

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{x}_{k+1}& =x_k+{\displaystyle \frac{1}{9}}\\ x_{k+1}-x_k& ={\displaystyle \frac{1}{9}}\\ b& ={\displaystyle \frac{1}{9}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2+\cdots +x_{1800}& =S_{1800}\\ & ={\displaystyle \frac{n}{2}}(2a+(n-1)b)\\ & ={\displaystyle \frac{1800}{2}}(2(5)+(1800-1){\displaystyle \frac{1}{9}})\\ & =900(10+{\displaystyle \frac{1799}{9}})\\ & =9000+179900\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 188900}}}}\end{array}$$

Jadi, x₁ + x₂ + ⋯ + x₁₈₀₀ = 188900.

---

No. 3

Misalkan u₁, u₂, u₃ barisan aritmetika dengan suku-suku bilangan real positif. Jika ${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{14}{27}}$, maka nilai ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}$ adalah ....

OSK 2021

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA 1

${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{14}{27}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{u_1+u_2+u_3}{u_3}}={\displaystyle \frac{41}{27}}$

${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}=p\Rightarrow {\displaystyle \frac{u_1+u_2+u_3}{u_1}}=p+1$

Kita tahu bahwa $u_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(u_1+u_3)$, sehingga $u_1+u_2+u_3={\displaystyle \frac{3}{2}}(u_1+u_3)$. Jadi, $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{p+1}}+{\displaystyle \frac{27}{41}}& ={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{p+1}}& ={\displaystyle \frac{1}{123}}\\ p& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 122}}}}\end{array}$$

CARA 2

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}& ={\displaystyle \frac{14}{27}}\\ {\displaystyle \frac{a+a+b}{a+2b}}& ={\displaystyle \frac{14}{27}}\\ {\displaystyle \frac{2a+b}{a+2b}}& ={\displaystyle \frac{14}{27}}\\ 54a+27b& =14a+28b\\ 40a& =b\\ {\displaystyle \frac{b}{a}}& =40\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}& ={\displaystyle \frac{a+b+a+2b}{a}}\\ & ={\displaystyle \frac{2a+3b}{a}}\\ & =2+3{\displaystyle \frac{b}{a}}\\ & =2+3(40)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 122}}}}\end{array}$$

CARA PRAKTIS

Semua paket soal untuk nomor ini mempunyai pola yang sama yaitu ${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{x}{y}}$ dengan $y=2x-1$. Setelah dihitung, didapat nilai ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}$ adalah $3(x+y)-1$.
Untuk soal di atas yaitu ${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{14}{27}}$, maka nilai ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}$ adalah $3(14+27)-1=122$.

Jadi, ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}=122$.

---

No. 4

Misalkan u₁, u₂, u₃ barisan aritmetika dengan suku-suku bilangan real positif. Jika ${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$, maka nilai ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}$ adalah ....

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

${\displaystyle \frac{u_1+u_2}{u_3}}={\displaystyle \frac{5}{7}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{u_1+u_2+u_3}{u_3}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$

${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}=p\Rightarrow {\displaystyle \frac{u_1+u_2+u_3}{u_1}}=p+1$

Kita tahu bahwa $u_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(u_1+u_3)$, sehingga $u_1+u_2+u_3={\displaystyle \frac{3}{2}}(u_1+u_3)$. Jadi,$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{p+1}}+{\displaystyle \frac{7}{12}}& ={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{1}{p+1}}& ={\displaystyle \frac{1}{12}}\\ p& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 11}}}}\end{array}$$

Jadi, ${\displaystyle \frac{u_2+u_3}{u_1}}=11$.

---