SBMPTN Zone : Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Aritmetika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Jika $k$ ditambahkan pada masing-masing bilangan 36, 300, dan 596, maka diperoleh kuadrat tiga suku berurutan dari suatu barisan aritmetika. Carilah nilai $k$.

1. $923$
2. $924$
3. $925$

4. $926$
5. $927$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal $U_1=a$, $U_2=a+b$, dan $U_3=a+2b$

$a^2=36+k$

$\begin{aligned} (a+b)^2&=300+k\\ a^2+2ab+b^2&=300+k\\ 36+k+2ab+b^2&=300+k\\ 2ab+b^2&=264 \end{aligned}$

$\begin{aligned} (a+2b)^2&=596+k\\ a^2+4ab+4b^2&=596+k\\ 36+k+4ab+4b^2&=596+k\\ 4ab+4b^2&=560\\ 2ab+2b^2&=280\\ ab+b^2&=140 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2ab+2b^2&=280\\ 2ab+b^2&=264&\color{red}{-}\\\hline b^2&=16 \end{aligned}$

$\begin{aligned} ab+b^2&=140\\ a&=\dfrac{140-b^2}b\\ a^2&=\dfrac{\left(140-b^2\right)^2}{b^2}\\ 36+k&=\dfrac{\left(140-16\right)^2}{16}\\ &=\dfrac{\left(124\right)^2}{16}\\ &=\dfrac{\left(4\cdot31\right)^2}{16}\\ k&=961-36\\ &=925 \end{aligned}$

Jadi, $k=925$.
JAWAB: C

---

No.

Jika $S_n$ adalah jumlah $n$ suku petama dari barisan aritmetika, maka nilai $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_{2n}}{S_{3n}}=$

1. $\dfrac49$
2. $\dfrac59$
3. $\dfrac69$

4. $\dfrac79$
5. $\dfrac89$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$S_n=\dfrac12n\left[2a+(n-1)b\right]$
$\begin{aligned} \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_{2n}}{S_{3n}}&=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{\dfrac12(2n)\left[2a+(2n-1)b\right]}{\dfrac12(3n)\left[2a+(3n-1)b\right]}\\[8pt] &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{2\left[2a+2bn-b\right]}{3\left[2a+3bn-b\right]}\\[8pt] &=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{4a+4bn-2b}{6a+9bn-3b}\\[8pt] &=\dfrac{4b}{9b}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac49}} \end{aligned}$

Jadi, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_{2n}}{S_{3n}}=15$.
JAWAB: A

---

No.

Jika perbandingan suku pertama dan suku kedua suatu barisan aritmetika adalah $2:3$ maka perbandingan suku kedua dan keempat dari barisan tersebut adalah ....

1. $3:5$
2. $3:7$
3. $5:7$

4. $5:3$
5. $7:5$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{aligned} \dfrac{U_1}{U_3}&=\dfrac23\\ \dfrac{a}{a+2b}&=\dfrac23\\ 3a&=2a+4b\\ a&=4b\\ \dfrac{a}b&=4 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{U_2}{U_4}&=\dfrac{a+b}{a+3b}\\ &=\dfrac{\dfrac{a}b+1}{\dfrac{a}b+3}\\ &=\dfrac{4+1}{4+3}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac57}} \end{aligned}$

Jadi, perbandingannya adalah $5:7$.
JAWAB: C

---

No.

Dalam suatu barisan aritmetika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah $8$ dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah $3$, jumlah 13 suku pertama barisan tersebut adalah

1. $-9$
2. $-10$
3. $-11$

4. $-12$
5. $-13$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{aligned} \dfrac{S_4}4&=8\\ S_4&=32\\ \dfrac42\left(2a+3b\right)&=32\\ 2\left(2a+3b\right)&=32\\ 4a+6b&=32 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \dfrac{S_9}9&=3\\ S_9&=27\\ \dfrac92\left(2a+8b\right)&=27\\ 9a+36b&=27 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 4a+6b&=32\\ 9a+36b&=27\qquad\color{red}{-}\\\hline -5a-30b&=5\qquad\color{red}{:-5}\\ a+6b&=-1 \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{13}&=\dfrac{13}2\left(2a+12b\right)\\ &=13(a+6b)\\ &=13(-1)\\ &=\boxed{\boxed{-13}} \end{aligned}$

Jadi, jumlah 13 suku pertama barisan tersebut adalah $-13$.
JAWAB: E

---

No.

Suku ke-$11$ suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-$16$. Jika beda barisan tersebut adalah $-3$, maka empat kali suku ke-$14$ sama dengan suku ke

1. $1$
2. $3$
3. $5$

4. $7$
5. $9$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$U_n=a+(n-1)b$

$\begin{aligned} U_{11}&=4U_{16}\\ a+10b&=4(a+15b)\\ a+10b&=4a+60b\\ -3a&=50b\\ -3a&=50(-3)\\ -3a&=-150\\ a&=50 \end{aligned}$

$\begin{aligned} U_n&=4U_{14}\\ a+(n-1)b&=4(a+13b)\\ 50+(n-1)(-3)&=4(50+13(-3))\\ 50-3n+3&=4(50-39)\\ 53-3n&=4(11)\\ 53-3n&=44\\ -3n&=44-53\\ -3n&=-9\\ n&=\boxed{\boxed{3}} \end{aligned}$

Jadi, empat kali suku ke-$14$ sama dengan suku ke-$3$.
JAWAB: b

---

No.

Suku ke-$5$ suatu barisan aritmetika adalah $10$. Jika $40$ ditambahkan dengan jumlah $4$ suku pertama hasilnya sama dengan jumlah suku ke-$6$ hingga suku ke-$9$, maka suku ke-$3$ adalah

1. $7$
2. $6$
3. $5$

4. $4$
5. $3$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{aligned} 40+S_4&=U_6+U_7+U_8+U_9\\ 40+\dfrac42(2a+3b)&=a+5b+a+6b+a+7b+a+8b\\ 40+2(2a+3b)&=4a+26b\\ 40+4b+6b&=4a+26b\\ 40&=20b\\ b&=2 \end{aligned}$

$\begin{aligned} U_5&=U_3+2b\\ 10&=U_3+2(2)\\ 10&=U_3+4\\ U_3&=\boxed{\boxed{6}} \end{aligned}$

Jadi, suku ke-$3$ adalah $6$.
JAWAB: B

---

No.

Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan ketiga adalah $144$, dan perkalian bilangan kedua dan keempat adalah $495$. Maka suku ke-$100$ adalah ....

1. $896$
2. $897$
3. $898$

4. $899$
5. $900$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{aligned} a\cdot U_3&=144\\ a\cdot\left(a+2b\right)&=144\\ a^2+2ab&=144\\ 2ab&=144-a^2\\ b&=\dfrac{144-a^2}{2a} \end{aligned}$

$\begin{aligned} U_2\cdot U_4&=495\\ (a+b)(a+3b)&=495\\ a^2+4ab+3b^2&=495\\ a^2+4a\left(\dfrac{144-a^2}{2a}\right)+3\left(\dfrac{144-a^2}{2a}\right)^2&=495\\ a^2+288-2a^2+3\left(\dfrac{20736-288a^2+a^4}{4a^2}\right)&=495\\ -a^2+288+\dfrac{62208-864a^2+3a^4}{4a^2}&=495\quad&{\color{red}\times4a^2}\\ -4a^4+1152a^2+62208-864a^2+3a^4&=1980a^2\\ -a^4-1692a^2+62208&=0\\ a^4+1692a^2-62208&=0\\ \left(a^2+1728\right)\left(a^2-36\right)&=0 \end{aligned} $
$a^2=-1728$ (TM) atau $a^2=36\to a=6$

$\begin{aligned} b&=\dfrac{144-a^2}{2a}\\ &=\dfrac{144-36}{2(6)}\\ &=\dfrac{108}{12}\\ &=9 \end{aligned}$

$\begin{aligned} U_{100}&=a+99b\\ &=6+99(9)\\ &=6+891\\ &=897 \end{aligned}$

Jadi, suku ke-$100$ adalah $897$.
JAWAB: B

---