SBMPTN Zone : Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Aritmetika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Jika $k$ ditambahkan pada masing-masing bilangan 36, 300, dan 596, maka diperoleh kuadrat tiga suku berurutan dari suatu barisan aritmetika. Carilah nilai $k$.

1. $923$
2. $924$
3. $925$

4. $926$
5. $927$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal $U_1=a$, $U_2=a+b$, dan $U_3=a+2b$

$a^2=36+k$

$\begin{array}{rl}(a+b{)}^2& =300+k\\ a^2+2ab+b^2& =300+k\\ 36+k+2ab+b^2& =300+k\\ 2ab+b^2& =264\end{array}$

$\begin{array}{rl}(a+2b{)}^2& =596+k\\ a^2+4ab+4b^2& =596+k\\ 36+k+4ab+4b^2& =596+k\\ 4ab+4b^2& =560\\ 2ab+2b^2& =280\\ ab+b^2& =140\end{array}$

$\begin{array}{rl}2ab+2b^2& =280\\ 2ab+b^2& =264& -\\ b^2& =16\end{array}$

$\begin{array}{rl}ab+b^2& =140\\ a& ={\displaystyle \frac{140-b^2}{b}}\\ a^2& ={\displaystyle \frac{{(140-b^2)}^2}{b^2}}\\ 36+k& ={\displaystyle \frac{{(140-16)}^2}{16}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\left(124\right)}^2}{16}}\\ & ={\displaystyle \frac{{(4\cdot 31)}^2}{16}}\\ k& =961-36\\ & =925\end{array}$

Jadi, $k=925$.
JAWAB: C

---

No.

Jika $S_n$ adalah jumlah $n$ suku petama dari barisan aritmetika, maka nilai ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{S_{2n}}{S_{3n}}}=}$

1. ${\displaystyle \frac{4}{9}}$
2. ${\displaystyle \frac{5}{9}}$
3. ${\displaystyle \frac{6}{9}}$

4. ${\displaystyle \frac{7}{9}}$
5. ${\displaystyle \frac{8}{9}}$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$S_n={\displaystyle \frac{1}{2}}n[2a+(n-1)b]$
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{S_{2n}}{S_{3n}}}}& ={\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}(2n)[2a+(2n-1)b]}{{\displaystyle \frac{1}{2}}(3n)[2a+(3n-1)b]}}}\\ & ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{2[2a+2bn-b]}{3[2a+3bn-b]}}}\\ & ={\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{4a+4bn-2b}{6a+9bn-3b}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4b}{9b}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{4}{9}}}}}}\end{array}$

Jadi, ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{S_{2n}}{S_{3n}}}=15}$.
JAWAB: A

---

No.

Jika perbandingan suku pertama dan suku kedua suatu barisan aritmetika adalah $2:3$ maka perbandingan suku kedua dan keempat dari barisan tersebut adalah ....

1. $3:5$
2. $3:7$
3. $5:7$

4. $5:3$
5. $7:5$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_1}{U_3}}& ={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ {\displaystyle \frac{a}{a+2b}}& ={\displaystyle \frac{2}{3}}\\ 3a& =2a+4b\\ a& =4b\\ {\displaystyle \frac{a}{b}}& =4\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_2}{U_4}}& ={\displaystyle \frac{a+b}{a+3b}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{b}}+1}{{\displaystyle \frac{a}{b}}+3}}\\ & ={\displaystyle \frac{4+1}{4+3}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{5}{7}}}}}}\end{array}$

Jadi, perbandingannya adalah $5:7$.
JAWAB: C

---

No.

Dalam suatu barisan aritmetika, nilai rata-rata dari 4 suku pertama adalah $8$ dan nilai rata-rata 9 suku pertama adalah $3$, jumlah 13 suku pertama barisan tersebut adalah

1. $-9$
2. $-10$
3. $-11$

4. $-12$
5. $-13$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{S_4}{4}}& =8\\ S_4& =32\\ {\displaystyle \frac{4}{2}}(2a+3b)& =32\\ 2(2a+3b)& =32\\ 4a+6b& =32\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{S_9}{9}}& =3\\ S_9& =27\\ {\displaystyle \frac{9}{2}}(2a+8b)& =27\\ 9a+36b& =27\end{array}$

$\begin{array}{rl}4a+6b& =32\\ 9a+36b& =27-\\ -5a-30b& =5:-5\\ a+6b& =-1\end{array}$

$\begin{array}{rl}{S}_{13}& ={\displaystyle \frac{13}{2}}(2a+12b)\\ & =13(a+6b)\\ & =13(-1)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -13}}}}\end{array}$

Jadi, jumlah 13 suku pertama barisan tersebut adalah $-13$.
JAWAB: E

---

No.

Suku ke-$11$ suatu barisan aritmetika sama dengan empat kali suku ke-$16$. Jika beda barisan tersebut adalah $-3$, maka empat kali suku ke-$14$ sama dengan suku ke

1. $1$
2. $3$
3. $5$

4. $7$
5. $9$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$U_n=a+(n-1)b$

$\begin{array}{rl}{U}_{11}& =4U_{16}\\ a+10b& =4(a+15b)\\ a+10b& =4a+60b\\ -3a& =50b\\ -3a& =50(-3)\\ -3a& =-150\\ a& =50\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_n& =4U_{14}\\ a+(n-1)b& =4(a+13b)\\ 50+(n-1)(-3)& =4(50+13(-3))\\ 50-3n+3& =4(50-39)\\ 53-3n& =4(11)\\ 53-3n& =44\\ -3n& =44-53\\ -3n& =-9\\ n& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 3}}}}\end{array}$

Jadi, empat kali suku ke-$14$ sama dengan suku ke-$3$.
JAWAB: b

---

No.

Suku ke-$5$ suatu barisan aritmetika adalah $10$. Jika $40$ ditambahkan dengan jumlah $4$ suku pertama hasilnya sama dengan jumlah suku ke-$6$ hingga suku ke-$9$, maka suku ke-$3$ adalah

1. $7$
2. $6$
3. $5$

4. $4$
5. $3$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}40+S_4& =U_6+U_7+U_8+U_9\\ 40+{\displaystyle \frac{4}{2}}(2a+3b)& =a+5b+a+6b+a+7b+a+8b\\ 40+2(2a+3b)& =4a+26b\\ 40+4b+6b& =4a+26b\\ 40& =20b\\ b& =2\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_5& =U_3+2b\\ 10& =U_3+2(2)\\ 10& =U_3+4\\ U_3& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 6}}}}\end{array}$

Jadi, suku ke-$3$ adalah $6$.
JAWAB: B

---

No.

Empat bilangan positif membentuk barisan aritmetika. Jika perkalian bilangan pertama dan ketiga adalah $144$, dan perkalian bilangan kedua dan keempat adalah $495$. Maka suku ke-$100$ adalah ....

1. $896$
2. $897$
3. $898$

4. $899$
5. $900$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$\begin{array}{rl}a\cdot U_3& =144\\ a\cdot (a+2b)& =144\\ a^2+2ab& =144\\ 2ab& =144-a^2\\ b& ={\displaystyle \frac{144-a^2}{2a}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_2\cdot U_4& =495\\ (a+b)(a+3b)& =495\\ a^2+4ab+3b^2& =495\\ a^2+4a\left({\displaystyle \frac{144-a^2}{2a}}\right)+3{\left({\displaystyle \frac{144-a^2}{2a}}\right)}^2& =495\\ a^2+288-2a^2+3\left({\displaystyle \frac{20736-288a^2+a^4}{4a^2}}\right)& =495\\ -a^2+288+{\displaystyle \frac{62208-864a^2+3a^4}{4a^2}}& =495& \times 4a^2\\ -4a^4+1152a^2+62208-864a^2+3a^4& =1980a^2\\ -a^4-1692a^2+62208& =0\\ a^4+1692a^2-62208& =0\\ (a^2+1728)(a^2-36)& =0\end{array}$
$a^2=-1728$ (TM) atau $a^2=36\to a=6$

$\begin{array}{rl}b& ={\displaystyle \frac{144-a^2}{2a}}\\ & ={\displaystyle \frac{144-36}{2(6)}}\\ & ={\displaystyle \frac{108}{12}}\\ & =9\end{array}$

$\begin{array}{rl}{U}_{100}& =a+99b\\ & =6+99(9)\\ & =6+891\\ & =897\end{array}$

Jadi, suku ke-$100$ adalah $897$.
JAWAB: B

---