HOTS Zone : Persamaan Kuadrat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Persamaan Kuadrat. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Misalkan $a$, $b$, dan $c$ adalah tiga bilangan berbeda. Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$ yang mungkin adalah ....

OSK 2018

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)& =0\\ (x-b)(x-a+x-c)& =0\\ (x-b)(2x-(a+c))& =0\end{array}$$ $x=b$ dan $x={\displaystyle \frac{a+c}{2}}$

Jumlah akar-akarnya adalah $b+{\displaystyle \frac{a+c}{2}}$.
Kita ambil 3 bilangan asli satu digit terbesar yaitu 7, 8, dan 9. Nilai $a$ dan $c$ dibagi dengan 2, sehingga $b$ harus bilangan yang terbesar yaitu 9.
$b+{\displaystyle \frac{a+c}{2}}=9+{\displaystyle \frac{7+8}{2}}=16,5$.

Jadi, jumlah terbesar akar-akar persamaan $(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=0$ yang mungkin adalah $16,5$.

---

No.

Jika semua akar persamaan $x^2-5x+t=0$ merupakan bilangan bulat positif, maka jumlah semua nilai $t$ yang mungkin adalah ....

1. $5$
2. $8$
3. $9$

4. $10$
5. $20$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal akar-akarnya adalah $x_1$ dan $x_2$.
$x_1+x_2=5$
Pasangan bilangan bulat positif yang jumlahnya 5 adalah {1,4} dan {2,3}

Jika akar-akarnya 1 dan 4 maka:
$t=1\cdot 4=4$

Jika akar-akarnya 2 dan 3 maka:
$t=2\cdot 3=6$

$4+6=10$

Jadi, jumlah semua nilai $t$ yang mungkin adalah 10.
JAWAB: D

---

No.

Jika $(ax+2)(bx+7)=12x^2+Cx+14$ untuk semua nilai $x$ dan $a+b=7$, maka nilai $C=$

1. $27$ dan $29$
2. $28$ dan $32$
3. $27$ dan $32$

4. $28$ dan $33$
5. $29$ dan $34$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}(ax+2)(bx+7)& =12x^2+Cx+14\\ ab{x}^2+(7a+2b)x+14& =12x^2+Cx+14\end{array}$$ $ab=12$

didapat,
$(a,b)=(3,4)$ atau $(4,3)$
$$\begin{array}{rl}C& =7a+2b\\ & =7(3)+2(4)\\ & =21+8\\ & =29\end{array}$$ atau $$\begin{array}{rl}C& =7a+2b\\ & =7(4)+2(3)\\ & =28+6\\ & =34\end{array}$$

Jadi, $C=29$ dan $34$.
JAWAB: E

---

No.

Akar-akar persamaan kuadrat $2x^2-7x+2=0$ adalah $r$ dan $s$. Tentukan hasil dari ${\displaystyle \frac{r}{{(r^2+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{{(s^2+1)}^2}}$

1. $-{\displaystyle \frac{2}{7}}$
2. $-{\displaystyle \frac{1}{7}}$

3. ${\displaystyle \frac{1}{7}}$
4. ${\displaystyle \frac{2}{7}}$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}2x^2-7x+2& =0\\ 2x^2+2& =7x\\ x^2+1& ={\displaystyle \frac{7x}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{r}{{(r^2+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{{(s^2+1)}^2}}& ={\displaystyle \frac{r}{{\left({\displaystyle \frac{7r}{2}}\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{{\left({\displaystyle \frac{7s}{2}}\right)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{r}{{\displaystyle \frac{49r^2}{4}}}}+{\displaystyle \frac{s}{{\displaystyle \frac{49s^2}{4}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{49r}}+{\displaystyle \frac{4}{49s}}\\ & ={\displaystyle \frac{4}{49}}\left({\displaystyle \frac{r+s}{rs}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{4}{49}}\left({\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{7}{2}}}{{\displaystyle \frac{2}{2}}}}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{4}{49}}\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{2}{7}}}}}}\end{array}$$

Jadi, ${\displaystyle \frac{r}{{(r^2+1)}^2}}+{\displaystyle \frac{s}{{(s^2+1)}^2}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$.
JAWAB: D

---

No.

Jika akar-akar persamaan kuadrat $x^2-5x-3=0$ adalah $\alpha$ dan $\beta$ maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya ${\alpha }^2-5\alpha$ dan ${\beta }^2-5\beta +1$ adalah

1. $x^2+12x+7=0$
2. $x^2-12x-7=0$
3. $x^2-12x+7=0$

4. $x^2+7x+12=0$
5. $x^2-7x+12=0$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{x}^2-5x-3& =0\\ x^2-5x& =3\end{array}$$ ${\alpha }^2-5\alpha =3$
$$\begin{array}{rl}{\beta }^2-5\beta & =3\\ {\beta }^2-5\beta +1& =4\end{array}$$

Persamaan kuadrat barunya, $$\begin{array}{rl}{x}^2-(3+4)x+3\cdot 4& =0\\ x^2-7x+12& =0\end{array}$$

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya ${\alpha }^2-5\alpha$ dan ${\beta }^2-5\beta +1$ adalah $x^2-7x+12=0$.
JAWAB: E

---

No.

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3bx+2c=0$ adalah

SKB CPNS MATEMATIKA 2020

ALTERNATIF PENYELESAIAN

CARA BIASA

$A=1$, $B=3b$, $C=2c$

$\begin{array}{rl}{x}_1+x_2& ={\displaystyle \frac{-B}{A}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3b}{1}}\\ & =-3b\end{array}$

$\begin{array}{rl}{x}_1{x}_2& ={\displaystyle \frac{C}{A}}\\ & ={\displaystyle \frac{2c}{1}}\\ & =2c\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}& ={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3b}{2c}}\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{1}{x_1}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{x_2}}& ={\displaystyle \frac{1}{x_1{x}_2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2c}}\end{array}$

Persamaan kuadratnya,
$\begin{array}{rl}{x}^2-\left({\displaystyle \frac{-3b}{2c}}\right)x+{\displaystyle \frac{1}{2c}}& =0\\ x^2+{\displaystyle \frac{3b}{2c}}x+{\displaystyle \frac{1}{2c}}& =0& \times 2c\\ 2c{x}^2+3bx+1& =0\end{array}$

CARA CEPAT

$\begin{array}{rl}1+3bx+2c{x}^2& =0\\ 2c{x}^2+3bx+1& =0\end{array}$

Jadi, persamaan kuadrat yang akar-akarnya kebalikan dari akar-akar persamaan kuadrat $x^2+3bx+2c=0$ adalah $2c{x}^2+3bx+1=0$.

---