Exercise Zone : Proyeksi Vektor (Vector Projection)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Proyeksi Vektor tipe standar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

No. 1

Jika proyeksi orthogonal vektor {\vec{u}=3\vec{i}+4\vec{j}} pada vektor {\vec{v}=-4\vec{i}+8\vec{j}} adalah vektor \vec{w}, maka \left|\vec{w}\right| adalah ....

Grup WhatsApp

\(\begin{aligned} \left|\vec{v}\right|&=\sqrt{(-4)^2+(8)^2}\\ &=\sqrt{16+64}\\ &=\sqrt{80}\\ &=4\sqrt5 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \left|\vec{w}\right|&=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\\[8pt] &=\dfrac{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-4\\8\end{pmatrix}}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac{-12+32}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac{20}{4\sqrt5}\\[8pt] &=\dfrac5{\sqrt5}{\color{red}{\cdot\dfrac{\sqrt5}{\sqrt5}}}\\[8pt] &=\dfrac{5\sqrt5}{5}\\ &=\boxed{\boxed{\sqrt5}} \end{aligned}\)

Jadi, \left|\vec{w}\right|=\sqrt5.

No. 2

Vektor yang merupakan proyeksi vektor {\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}} pada {2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}} adalah

1. {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+2\vec{k}}
2. {4\vec{i}+2\vec{j}+2\vec{k}}
   
3. {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}
   

4. {\vec{i}+2\vec{j}+\vec{k}}
5. {\vec{i}+\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}
   

Misal \vec{a}=i-2j+3k, \vec{b}=2i+j+k, dan \vec{c} adalah vektor proyeksi \vec{a} pada \vec{b}.

\(\begin{aligned} \left|\vec{b}\right|&=\sqrt{2^2+1^2+1^2}\\ &=\sqrt{4+1+1}\\ &=\sqrt6 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \vec{c}&=\dfrac{a\cdot b}{\left|\vec{b}\right|^2}\vec{b}\\ &=\dfrac{(i-2j+3k)\cdot(2i+j+k)}{\left(\sqrt6\right)^2}(2i+j+k)\\ &=\dfrac{2-2+3}6(2i+j+k)\\ &=\dfrac36(2i+j+k)\\ &=\dfrac12(2i+j+k)\\ &=\boxed{\boxed{i+\dfrac12j+\dfrac12k}} \end{aligned}\)

Jadi, vektor yang merupakan proyeksi vektor {\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}} pada {2\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}} adalah {\vec{i}+\dfrac12\vec{j}+\dfrac12\vec{k}}.
JAWAB: C

No. 3

Jika proyeksi {\vec{u}=(2,4)} pada {\vec{w}=(3,1)} sama dengan proyeksi {\vec{v}=(a,-2)} pada \vec{w}. maka nilai a yang memenuhi adalah

1. -2
2. -3
   
3. 2
   

4. 3
5. 4
   

CARA 1

\(\begin{aligned} \left|\vec{w}\right|^2&=3^2+1^2\\ &=9+1\\ &=10 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}&=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\left|\vec{w}\right|^2}\vec{w}\\[8pt] \dfrac{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] \dfrac{6+4}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\dfrac{3a-2}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] \dfrac{10}{10}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix}\\[8pt] \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{9a-6}{10}\\\dfrac{3a-2}{10}\end{pmatrix} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} 1&=\dfrac{3a-2}{10}\\[8pt] 10&=3a-2\\ 12&=3a\\ a&=\dfrac{12}3\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}\)

CARA CEPAT

\(\begin{aligned} \vec{u}\cdot\vec{w}&=\vec{v}\cdot\vec{w}\\ \begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}a\\-2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\\[8pt] 6+4&=3a-2\\ 10&=3a-2\\ 12&=3a\\ a&=\dfrac{12}3\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}\)

Jadi, a=4.
JAWAB: E

No. 4

Jika panjang proyeksi vektor (a, 5, -1) pada vektor (1, 4, 8) adalah 2, maka a =

1. 2
2. 3
3. 4

4. 5
5. 6

SKMP Juli 2020

\(\eqalign{ \dfrac{(a)(1)+(5)(4)+(-1)(8)}{\sqrt{1^2+4^2+8^2}}&=2\\ \dfrac{a+20-8}{\sqrt{1+16+64}}&=2\\ \dfrac{a+12}{\sqrt{81}}&=2\\ \dfrac{a+12}9&=2\\ a+12&=18\\ a&=\boxed{\boxed{6}} }\)

Jadi, a =6.
JAWAB: E