OLIMPIADE Zone : Limit

Berikut ini adalah kumpulan soal dan pembahasan mengenai limit. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

Tingkat Kesulitan:

Dasar SBMPTN Olimpiade

---

No. 1

f_n(x)=\underbrace{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}}}_{\text{ada }n\text{ buah }x}

Tentukan nilai dari \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x)\right)

Untuk n=2,
\(\eqalign{ \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_2(x)\right)&=\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x\\ &=1 }\)

Untuk n=3,
\(\eqalign{ \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_3(x)\right)&=\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^{x^x}\\ &=\left(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\right)^{\left(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^x\right)}\\ &=\left(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\right)^1\\ &=\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\\ &=0 }\)

Jadi, jika n genap maka f_n(x)=1, dan jika n ganjil maka f_n(x)=0.
Sehingga,
\(\eqalign{ \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x)\right)&=1+0+1\\ &=2 }\)

Jadi, \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x)\right)=2.