OLIMPIADE Zone : Limit

Berikut ini adalah kumpulan soal dan pembahasan mengenai limit. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

Tingkat Kesulitan:

Dasar SBMPTN Olimpiade

---

No. 1

f_n(x)=\underbrace{x^{x^{x^{x^{.^{.^{.^x}}}}}}}_{\text{ada }n\text{ buah }x}

Tentukan nilai dari \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x)\right)

Untuk n=2,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}(f_2(x))}& ={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x}\\ & =1\end{array}$

Untuk n=3,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}(f_3(x))}& ={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^{x^x}}\\ & ={\left({\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}x}\right)}^{\left({\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^x}\right)}\\ & ={\left({\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}x}\right)}^1\\ & ={\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}x}\\ & =0\end{array}$

Jadi, jika n genap maka f_n(x)=1, dan jika n ganjil maka f_n(x)=0.
Sehingga,
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x))}& =1+0+1\\ & =2\end{array}$

Jadi, \displaystyle\lim_{x\to0^+}\left(f_{2016}(x)+f_{2017}(x)+f_{2018}(x)\right)=2.