Exercise Zone : Barisan dan Deret Geometri

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Geometri. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Jika k adalah bilangan real positif, serta 4k+5, 2k+1, dan k adalah berturut-turut suku kedua, ketiga, dan keempat suatu barisan geometri, maka jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah

1. 33
2. 36
3. 39

4. 42
5. 45

$$\begin{array}{rl}{U_3}^2& =U_2\cdot U_4\\ (2k+1{)}^2& =(4k+5)(k)\\ 4k^2+4k+1& =4k^2+5k\\ k& =1\end{array}$$

barisannya menjadi:
4(1)+5, 2(1)+1, 1
9, 3, 1

sehingga suku pertamanya adalah 27.

$$\begin{array}{rl}{U}_1+U_2+U_3& =27+9+3\\ & =39\end{array}$$

Jadi, jumlah tiga suku pertama barisan tersebut adalah 39. JAWAB: C

No.

Seutas tali dipotong menjadi 5 bagian dengan tiap bagian membentuk barisan geometri. Jika potongan tali terpendek 10 cm dan tali terpanjang 810 cm, maka panjang tali seluruhnya adalah

1. 12{,}10 m
2. 12{,}15 m
   

3. 4{,}05 m
4. 4{,}00 m
   

n=5,
a=10,
U_5=810

$$\begin{array}{rl}a{r}^4& =810\\ 10r^4& =810\\ r^4& =81\\ r& =3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}\\ S_5& ={\displaystyle \frac{10(3^5-1)}{3-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{10(243-1)}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{10\left(242\right)}{2}}\\ & =10(121)\\ & =1210\text{ cm}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 12,10\text{ m}}}}}\end{array}$$

Jadi, panjang tali seluruhnya adalah 12,10 m. JAWAB: A

No.

Suku ke n suatu barisan geometri dinyatakan dengan U_n. Jika {U_1 = p^{\frac13}} dan {U_5 = p}, maka U_9=

1. p^{\frac43}
2. p^{\frac53}
3. p^2

4. p^{\frac73}
5. p^{\frac83}

$$\begin{array}{rl}{U_5}^2& =U_1\cdot U_9\\ p^2& =p^{\frac{1}{3}}\cdot U_9\\ U_9& ={\displaystyle \frac{p^2}{p^{\frac{1}{3}}}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle p^{\frac{5}{3}}}}}}\end{array}$$

Jadi, U_9=p^{\frac53}. JAWAB: B

No.

Di sebuah kota pada awal tahun 2011, jumlah penduduknya sebanyak 200.000 jiwa. Menurut historis perhitungan, tingkat pertumbuhan penduduk sebesar 2% per tahun. Berapa jumlah penduduk di kota tersebut pada akhir tahun 2018?

Grup Telegram

a=200.000
r=102\%=\dfrac{102}{100}
n=8

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a{r}^{n-1}\\ U_8& =200.000{\left({\displaystyle \frac{102}{100}}\right)}^7\\ & =200.000\left({\displaystyle \frac{114.868.566.764.928}{100.000.000.000.000}}\right)\\ & =229.737\end{array}$$

Jadi, jumlah penduduk di kota tersebut pada akhir tahun 2018 adalah 229.737. Butuh penjelasan dalam video? komen di bawah dan sebutkan nomor berapa yang ingin dibuatkan video penjelasannya.

No.

Seorang ahli statistika memperkirakan kota A yang mempunyai penduduk berjumlah 12.000 orang akan mengalami pertumbuhan populasi sebesar 12% dari tahun sebelumnya dalam kurun waktu 20 tahun mendatang. Berapa banyak populasl penduduk di kota A dalam 20 tahun mendatang?

Grup Telegram

M_0=12000
r=12\%=0{,}12
n=20

$$\begin{array}{rl}{M}_n& =M_0(1+r{)}^n\\ & =12000(1+0,12{)}^{20}\\ & =12000(1,12{)}^{20}\\ & =12000(\mathrm{9,646})\\ & =115752\end{array}$$

Jadi, banyak populasl penduduk di kota A dalam 20 tahun mendatang adalah 115.752.

No.

Jika barisan {(k+1)}, 3k, {(7k-2)}, ... merupakan barisan geometri. Tentukan nilai k

Facebook

$$\begin{array}{rl}(3k{)}^2& =(k+1)(7k-2)\\ 9k^2& =7k^2-2k+7k-2\\ 9k^2& =7k^2+5k-2\\ 2k^2-5k+2& =0\\ (2k-1)(k-2)& =0\end{array}$$
k=\dfrac12 atau k=2

Jadi, k=\dfrac12 atau k=2.

No.

Jika barisan geometri 3, 6, 12, ..., tentukan U_8.

Facebook

a=3
r=\dfrac63=2

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a{r}^{n-1}\\ U_8& =3\cdot 2^{8-1}\\ & =3\cdot 2^7\\ & =3\cdot 128\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 384}}}}\end{array}$$

Jadi, U_8=384.

No.

Rumus suku ke-n pada barisan geometri 525, 105, 21, ... adalah ...

a=525
r=\dfrac{105}{525}=\dfrac15

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a{r}^{n-1}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 525\cdot {\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^{n-1}}}}}\end{array}$$

Jadi, rumus suku ke-n pada barisan geometri 525, 105, 21, ... adalah 525\cdot\left(\dfrac15\right)^{n-1}

No.

Suku kedua dan suku kelima dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 48 dan \dfrac34. Suku ke-6 barisan tersebut adalah ...

$$\begin{array}{rl}{U}_2& =48\\ ar& =48\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_5& ={\displaystyle \frac{3}{4}}\\ a{r}^4& ={\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_5}{U_2}}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{48}}\\ {\displaystyle \frac{a{r}^4}{ar}}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{4}}}{{\displaystyle \frac{48}{1}}}}\\ r^3& ={\displaystyle \frac{3}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{48}}\\ & ={\displaystyle \frac{3}{192}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{64}}\\ r& =\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{1}{64}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}r& ={\displaystyle \frac{U_6}{U_5}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& ={\displaystyle \frac{U_6}{{\displaystyle \frac{3}{4}}}}\\ U_6& ={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{4}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{16}}}}}}\end{array}$$

Jadi, suku ke-6 barisan tersebut adalah \dfrac3{16}

No.

Diketahui deret geometri dengan suku ke-2 = 10 dan suku ke-5 = 80. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah

$$\begin{array}{rl}{U}_2& =10\\ ar& =10\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_5& =80\\ a{r}^4& =80\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{U_5}{U_2}}& ={\displaystyle \frac{80}{10}}\\ {\displaystyle \frac{a{r}^4}{ar}}& =8\\ r^3& =8\\ r& =\sqrt[3]{8}\\ r& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}ar& =10\\ a(2)& =10\\ a& ={\displaystyle \frac{10}{2}}\\ & =5\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{a(r^n-1)}{r-1}}\\ S_7& ={\displaystyle \frac{5(2^7-1)}{2-1}}\\ & ={\displaystyle \frac{5(128-1)}{1}}\\ & =5(127)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 635}}}}\end{array}$$

Jadi, jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah 635