HOTS Zone : Suku Banyak (Polinom)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Suku Banyak (Polinom). Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No. 1

Misalkan {f(x)=x^6+ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f} adalah polinomial yang memenuhi {f(1)=1}, {f(2)=2}, {f(3)=3}, {f(4)=4}, {f(5)=5}, dan {f(6)=6}. Nilai dari f(7) adalah ....

1. 427
2. 527

3. 627
4. 727

5. 827

Untuk 1\leq x\leq6, f(x)=x, jadi bisa ditulis:
{f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+x}

{f(7)=(7-1)(7-2)(7-3)(7-4)(7-5)(7-6)+7=727}

Jadi, f(7)=727. JAWAB: D

No. 2

Suku banyak x^3+8x^2+7x+3=0 memiliki akar-akar \tan A, \tan B, dan \tan C. Nilai dari \tan(A+B+C) adalah....

\tan A+\tan B+\tan C=-8
\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan A\tan C=7
\tan A\tan B\tan C=-3

$$\begin{array}{rl}\tan (A+B+C)& ={\displaystyle \frac{\tan A+\tan B+\tan C-\tan A\tan B\tan C}{1-(\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan A\tan C)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-8-7}{1-(-3)}}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{15}{4}}}}}}\end{array}$$

Jadi, nilai dari \tan(A+B+C) adalah -\dfrac{15}4.

No. 3

Jika persamaan x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0 memiliki tepat 4 penyelesaian dengan dua diantaranya adalah \sqrt{2019} dan \sqrt7 serta a, b, c, dan d adalah bilangan-bilangan rasional, maka a+b+c+d= ....

OMVN 2018

CARA 1

Substitusikan x=\sqrt7
$$\begin{array}{rl}{7}^2+7\sqrt{7}a+7b+\sqrt{7}c+d& =0\\ 49+7b+d+\sqrt{7}(7a+c)& =0\end{array}$$

49+7b+d adalah bilangan rasional maka \sqrt7(7a+c) juga harus bilangan rasional. Jika kita substitusikan x=\sqrt{2019} didapat bahwa \sqrt{2019}(2019a+c) harus bilangan rasional. Satu-satunya nilai a dan c adalah 0. Sehingga persamaannya menjadi
x^4+bx^2+d=0
Misal p=x^2,
p^2+bp+d=0
Persamaan kuadrat di atas mempunyai akar 2019 dan 7

a+b+c+d=0-(2019+7)+0+2019\cdot7=12107

CARA 2

Misal f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d. Mempunyai akar \sqrt{2019} dan \sqrt7 dengan koefisien bilangan rasional sehingga bisa kita tulis:
f(x)=\left(x^2-2019\right)\left(x^2-7\right)

$$\begin{array}{rl}a+b+c+d& =f(1)-1\\ & =(1-2019)(1-7)-1\\ & =(-2018)(-6)-1\\ & =12107\end{array}$$

Jadi, a+b+c+d=12107.

No. 4

Jika p, q, dan r adalah akar-akar persamaan x^3-2x^2+x+1=0, maka nilai dari \dfrac1{p^5}+\dfrac1{q^5}+\dfrac1{r^5}= ....

Grup Facebook

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya \dfrac1p, \dfrac1q, dan \dfrac1r adalah
$$\begin{array}{rl}{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^3-2{\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{x}}+1& =0\\ {\displaystyle \frac{1}{x^3}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}+1& =0\\ x^3+x^2-2x+1& =0\end{array}$$

Misal x_1=\dfrac1p, x_2=\dfrac1q, x_3=\dfrac1r
x_1+x_2+x_3=-1
x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3=-2
x_1x_2x_3=-1

$$\begin{array}{rl}{x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2& =(x_1+x_2+x_3{)}^2-2(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_1{x}_3)\\ & =(-1{)}^2-2(-2)\\ & =5\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{x}^3& =-x^2+2x-1\\ x^4& =-x^3+2x^2-x\\ & =x^2-2x+1+2x^2-x\\ & =3x^2-3x+1\\ x^5& =3x^3-3x^2+x\\ & =3(-x^2+2x-1)-3x^2+x\\ & =-3x^2+6x-3-3x^2+x\\ & =-6x^2+7x-3\\ {\displaystyle \sum _{i=1}^3{x_i}^5}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^3(-6{x_i}^2+7x_i-3)}\\ & =-6(5)+7(-1)-3\cdot 3\\ & =-46\end{array}$$

Jadi, nilai dari \dfrac1{p^5}+\dfrac1{q^5}+\dfrac1{r^5}=-46.

No. 5

Diketahui a adalah solusi dari persamaan x^2-3x+1=0. Nilai dari \dfrac{2a^5-5a^4+2a^3-8a^2}{a^2+1} adalah ....

2. 
   
3. 
   

5. 
   

Grup Telegram

$$\begin{array}{rl}{a}^2-3a+1& =0\\ a^2+1& =3a\\ a^2& =3a-1\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{2a^5-5a^4+2a^3-8a^2}{a^2+1}}& ={\displaystyle \frac{a^2(2a^3-5a^2+2a-8)}{3a}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(2a(3a-1)-5(3a-1)+2a-8)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(6a^2-\cancel{2a}-15a+5+\cancel{2a}-8)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(6(3a-1)-15a-3)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(18a-6-15a-3)}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{a(3a-9)}{3}}\\ & =a(a-3)\\ & =a^2-3a\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -1}}}}\end{array}$$

Jadi, \dfrac{2a^5-5a^4+2a^3-8a^2}{a^2+1}=-1. JAWAB: E

No. 6

Diberikan suatu polinomial p(x) sehingga {p\left(p(x)\right)=x^4+4x^3+8x^2+8x+4}. Nilai dari {\displaystyle\sum_{i=1}^{29}p(i)} adalah

1. 9454
2. 10434
   
3. 16824
   

4. 20184
5. 25254
   

$$\begin{array}{rl}p(p(x))& =x^4+4x^3+8x^2+8x+4\\ & ={(x^2+2x+2)}^2\\ & ={((x+1{)}^2+1)}^2\\ p(x)& =(x+1{)}^2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sum _{i=1}^{29}p(i)}& ={\displaystyle \sum _{i=1}^{29}(i+1{)}^2}\\ & =(1+1{)}^2+(2+1{)}^2+(3+1{)}^2+\cdots +(29+1{)}^2\\ & =2^2+3^2+4^2+\cdots +{30}^2\\ & =1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots +{30}^2-1\\ & ={\displaystyle \frac{30(30+1)(2\cdot 30+1)}{6}}-1\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 9454}}}}\end{array}$$

Jadi, {\displaystyle\sum_{i=1}^{29}p(i)=9454}. JAWAB: A

No. 7

Hayabusa dan Angela sedang berada di "Land of Dawn". Di sana, mereka diberikan misi untuk membunuh Lord. Namun mereka tau bahwa dengan Item dan Level mereka saat itu belom kuat untuk membunuh Lord. Maka dari itu, mereka lantas lanjut Farming dan Naikkan level. Setelah beberapa lama, terdapat sebuah Item legendaris yang hanya didapat jika menyelesaikan sebuah teka-teki. Item itu dinamakan "Blade of Despair". Teka-teki tersebut adalah "Tentukan jumlah semua bilangan real x yang memenuhi {x^2(2-x)^2=\left[1-(1-x)^2\right]\left[1+(1-x)\right]^2}"

Grup Telegram

$$\begin{array}{rl}{x}^2(2-x{)}^2& =[1-(1-x{)}^2]{[1+(1-x)]}^2\\ x^2(2-x{)}^2& =[(1+1-x)(1-(1-x))]{[2-x]}^2\\ x^2(2-x{)}^2& =(2-x)x{(2-x)}^2\\ x^2(2-x{)}^2-(2-x)x{(2-x)}^2& =0\\ x(2-x{)}^2(x-(2-x))& =0\\ x(2-x{)}^2(2x-2)& =0\end{array}$$

x=0

$$\begin{array}{rl}(2-x{)}^2& =0\\ x& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}2x-2& =0\\ x& =1\end{array}$$

Jadi, jumlah semua bilangan real x yang memenuhi adalah 0+2+1=3.

No. 8

Carilah semua pasangan bilangan asli (x,n) yang memenuhi {1+x+x^2+\cdots+x^n=40}.

1. (1,40), (20,20), (40,1)
2. (5,8), (20,20), (8,5)
3. (1,39), (3,3), (39,1)

4. (3,39), (39,1), (0,40)
5. (1,1), (3,3), (39,39)

Grup Telegram

' {1+1+1^2+\cdots+1^{39}=40}
\boxed{\boxed{(1,39)}}

$$\begin{array}{rl}1+x+x^2+\cdots +x^n& =40\\ {\displaystyle \frac{x^{n+1}-1}{x-1}}& =40\\ x^{n+1}-1& =40x-40\\ 39& =40x-x^{n+1}\\ 40x-x^{n+1}& =39\\ x(40-x^n)& =39\end{array}$$
x haruslah pembagi positif dari 39.

Untuk x=3

$$\begin{array}{rl}3(40-3^n)& =39\\ 40-3^n& =13\\ 3^n& =27\\ n& =3\end{array}$$
\boxed{\boxed{(3,3)}}

Untuk x=13

$$\begin{array}{rl}13(40-{13}^n)& =39\\ 40-{13}^n& =3\\ {13}^n& =3\end{array}$$
Tidak ada n yang memenuhi

Untuk x=39

$$\begin{array}{rl}39(40-{39}^n)& =39\\ 40-{39}^n& =1\\ {39}^n& =39\\ n& =1\end{array}$$
\boxed{\boxed{(39,1)}}

Jadi, semua pasangan bilangan asli (x,n) yang memenuhi {1+x+x^2+\cdots+x^n=40} adalah (1,39), (3,3), (39,1). JAWAB: C

No. 9

Tunjukkan bahwa salah satu akar persamaan suku banyak {x^3 + x- 1=0} terletak di antara 0{,}5 dan 1. Kemudian, tentukan pendekatan akar persamaan tersebut dengan dibulatkan sehingga dua tempat desimal.

Grup Telegram

Misal f(x)=x^3+x-1

$$\begin{array}{rl}f(0,5)& =(0,5{)}^3+0,5-1\\ & =\mathrm{0,125}+0,5-1\\ & =-\mathrm{0,375}\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}f(1)& =1^3+1-1\\ & =1\end{array}$$

Karena f(0{,}5)\lt0 dan f(1)\gt0 maka akar persamaan tersebut berada di antara x={,}5 dan x=1.

0{,}5	0{,}6	0{,}7	0{,}8	0{,}9	1
-0{,}375	-0{,}184	0{,}043	0{,}312	0{,}629	1

f(x)=0 berada di antara x=0{,}6 dan x=0{,}7

0{,}60	0{,}61	0{,}62	0{,}63	0{,}64	0{,}65	0{,}66	0{,}67	0{,}68	0{,}69	0{,}70
-0{,}184	-0{,}163	-0{,}142	-0{,}120	-0{,}098	-0{,}075	-0{,}053	-0{,}029	-0{,}006	0{,}019	0{,}043

Nilai f(x) yang paling mendekati 0 adalah saat x=0{,}68.

Jadi, akar persamaan tersebut adalah 0{,}68.

No. 10

Himpunan semua x yang memenuhi {(x-1)^3+(x-2)^2=1} adalah ....

OSP 2006

$$\begin{array}{rl}(x-1{)}^3+(x-2{)}^2& =1\\ (x-1{)}^3+(x-1-1{)}^2& =1\\ (x-1{)}^3+(x-1{)}^2-2(x-1)+1& =1\\ (x-1)((x-1{)}^2+x-1-2)& =0(x-1)(x^2-2x+1+x-3)& =0(x-1)(x^2-x-2)& =0(x-1)(x+1)(x-2)& =0\end{array}$$
x=1, x=-1, x=2

Jadi, Hp = {-1, 1, 2}