Exercise Zone : Limas

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Limas tingkat dasar. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

No. 1

Diketahui limas segiempat beraturan T.ABCD dengan panjang semua rusuk 6 cm. Titik P pada AT sehingga {TP:PA=1:2}. Jarak P ke bidang BDT adalah ....

1. \dfrac23
2. \dfrac23\sqrt2
3. \dfrac13\sqrt2

4. \sqrt2
5. \sqrt3

Ganesha Operation

Buat garis tegak lurus dari P ke BDT. BDT merupakan bidang vertikal sehingga garis tersebut merupakan garis horisontal. Misal titik potong garis tersebut dengan bidang BDT adalah R. Jika kita perpanjang akan memotong rusuk TC. Kita namakan titik potongnya adalah Q. PQ sejajar dengan AC.
AC=6\sqrt2.

\(\eqalign{ \dfrac{PQ}{AC}&=\dfrac{TP}{TA}\\ \dfrac{PQ}{6\sqrt2}&=\dfrac13\\ PQ&=6\sqrt2\cdot\dfrac13\\ &=2\sqrt2 }\)

\(\begin{aligned} PR&=\dfrac12PQ\\ &=\dfrac12(2\sqrt2)\\ &=\boxed{\boxed{\sqrt2}} \end{aligned}\)

Jadi, jarak P ke bidang BDT adalah \sqrt2.

No. 2

Diberikan bidang empat A.BCD dengan BC tegaklurus BD dan AB tegaklurus bidang BCD. Jika BC=AD=a\sqrt2 cm, dan AB=a cm, maka sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan ....

1. \dfrac{\pi}6
2. \dfrac{\pi}4
3. \dfrac{\pi}3

4. \dfrac{3\pi}4
5. \dfrac{\pi}2

Learncy.net

Misal E adalah titik tengah CD, \alpha adalah sudut antara bidang ACD dan BCD.
CD=a\sqrt2\cdot\sqrt2=2a

\(\begin{aligned} BE&=\dfrac{BC\cdot BD}{CD}\\ &=\dfrac{a\sqrt2\cdot a\sqrt2}{2a}\\ &=a \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} \tan\alpha&=\dfrac{AB}{BE}\\ &=\dfrac{a}{a}\\ &=1\\ \alpha&=\dfrac{\pi}4 \end{aligned}\)

Jadi, sudut antara bidang ACD dan BCD sama dengan \dfrac{\pi}4.
JAWAB: B

No. 3

Diketahui bidang empat tegak T.ABC dengan TA tegak lurus bidang alas ABC. Segitiga ABC siku-siku di B dengan AB = 6 cm dan BC= 8 cm. Jika panjang TA= 24 cm dan titik O merupakan titik tengah BC, hitunglah panjang AC, TC,dan AO

klik gambar untuk memperbesar

\(\begin{aligned} AC&=\sqrt{AB^2+BC^2}\\ &=\sqrt{6^2+8^2}\\ &=\sqrt{36+64}\\ &=\sqrt{100}\\ &=\boxed{\boxed{10}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} TC&=\sqrt{TA^2+AC^2}\\ &=\sqrt{24^2+10^2}\\ &=\sqrt{576+100}\\ &=\sqrt{676}\\ &=\boxed{\boxed{26}} \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} BO&=\dfrac12BC\\ &=\dfrac12(8)\\ &=4 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} AO&=\sqrt{AB^2+BO^2}\\ &=\sqrt{6^2+4^2}\\ &=\sqrt{36+16}\\ &=\sqrt{52}\\ &=\boxed{\boxed{2\sqrt{13}}} \end{aligned}\)

Jadi, AC=10, TC=26,dan AO=2\sqrt{13}.

No. 4

Diketahui limas T.ABCD dengan alas persegi memiliki rusuk tegak 6 cm dan rusuk alas 4 cm. Jika P terletak pada BC sehingga {BP:PC=1:1} dan {\theta=\angle(DB,TP)} maka \cos\theta adalah

1. \sqrt{10}
2. \dfrac25\sqrt{10}
3. \dfrac12

4. \dfrac75\sqrt{10}
5. \dfrac14

Kita buat garis yang sejajar dengan DB dan berpotongan dengan TP, yaitu PQ.

\(\begin{aligned} TP&=\sqrt{6^2-2^2}\\ &=\sqrt{36-4}\\ &=\sqrt{32}\\ &=4\sqrt2 \end{aligned}\)

\(\begin{aligned} PQ&=\sqrt{2^2+2^2}\\ &=\sqrt{4+4}\\ &=\sqrt8\\ &=2\sqrt2 \end{aligned}\)

PR=\sqrt2

\(\begin{aligned} \cos\theta&=\dfrac{PR}{TP}\\[8pt] &=\dfrac{\sqrt2}{4\sqrt2}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac14}} \end{aligned}\)

Jadi, \cos\theta=\dfrac14.
JAWAB: E

No. 5

Diketahui bidang empat beraturan D.ABC memiliki panjang rusuk 2 cm. Jarak salah satu titik sudut bidang empat tersebut ke bidang di depannya adalah ....

1. \dfrac23\sqrt6 cm
2. \dfrac13\sqrt6 cm
3. 2\sqrt6 cm

4. \sqrt6 cm
5. 3\sqrt6 cm

Grup Telegram

BE=CE=AG=DG=1

\(\eqalign{ DE=AE&=\sqrt{AB^2-BE^2}\\ &=\sqrt{2^2-1^2}\\ &=\sqrt{4-1}\\ &=\sqrt3 }\)

\(\eqalign{ EG&=\sqrt{AE^2-AG^2}\\ &=\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2-1^2}\\ &=\sqrt{3-1}\\ &=\sqrt2 }\)

\(\eqalign{ AE\cdot DF&=AD\cdot EG\\ \sqrt3\cdot DF&=2\cdot\sqrt2\\ DF&=\dfrac{2\sqrt2}{\sqrt3}{\color{red}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt3}}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac23\sqrt6}} }\)

Jadi, jarak salah satu titik sudut bidang empat tersebut ke bidang di depannya adalah \dfrac23\sqrt6 cm.
JAWAB: A

No. 6

Perhatikan limas segitiga berikut.

Segitiga TPQ dan PQR sama kaki dan siku-siku di P. Titik A berada pada rusuk QRJ sehingga panjang QA = AR. Jika titik B merupakan proyeksi titik P ke ruas garis TAJ maka jarak titik B ke ruas garis PA adalah ... cm.

Grup Telegram

QR=6\sqrt2
QA=3\sqrt2

\(\eqalign{ AP&=\sqrt{PQ^2-QA^2}\\ &=\sqrt{6^2-\left(3\sqrt2\right)^2}\\ &=\sqrt{36-18}\\ &=\sqrt{18}\\ &=3\sqrt2 }\)

\(\eqalign{ AT&=\sqrt{AP^2+PT^2}\\ &=\sqrt{\left(3\sqrt2\right)^2+6^2}\\ &=\sqrt{18+36}\\ &=\sqrt{54}\\ &=3\sqrt6 }\)

\(\eqalign{ PB&=\dfrac{AP\cdot PT}{AT}\\ &=\dfrac{3\sqrt2\cdot 6}{3\sqrt6}\\ &=2\sqrt3 }\)

\(\eqalign{ \dfrac{BC}{PB}&=\dfrac{AP}{AT}\\ \dfrac{BC}{2\sqrt3}&=\dfrac{3\sqrt2}{3\sqrt6}\\ BC&=2 }\)

Jadi, jarak titik B ke ruas garis PA adalah 2 cm.