Nilai Mutlak

Definisi

Misalkan x bilangan real, |x| dibaca nilai mutlak x, dan didefinisikan $$|x|=\begin{cases}x,\ &\text{jika}\ &x\gt0\\-x,&\text{jika}&x\lt0\end{cases}$$

Definisi di atas dapat diungkapkan dengan kalimat sehari-hari seperti berikut ini. Nilai mutlak suatu bilangan positif atau nol adalah bilangan itu sendiri, sedangkan nilai mutlak dari suatu bilangan negatif adalah lawan dari bilangan negatif itu. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa:

1. \left|\dfrac12\right|=\dfrac12, karena {\dfrac12\gt0} (\dfrac12 adalah bilangan positif)
2. |5|=5, karena 5\gt0 (5 adalah bilangan positif)
3. |-3|=-(-3)=3, karena -3\lt0 (-3 adalah bilangan negatif)

Nilai mutlak juga bisa didefinisikan sebagai berikut: $$|x|=\sqrt{x^2}$$

CONTOH SOAL

Gunakan Definisi nilai mutlak untuk menentukan nilai mutlak berikut.
1. Tentukan |x + 2| untuk x bilangan real.

\(\eqalign{ x+2&\geq0\\ x&\geq-2 }\)
\(|x+2|=\begin{cases}x+2,\ &\text{jika}\ &x\geq-2\\-(x+2),&\text{jika}&x\lt-2\end{cases}\)

2. Tentukan |x-3| untuk x bilangan real.

\(\eqalign{ x-3&\geq0\\ x&\geq3 }\)
\(|x-3|=\begin{cases}x-3,\ &\text{jika}\ &x\geq3\\-(x-3),&\text{jika}&x\lt3\end{cases}\)

3. Tentukan |2 x + 3| untuk x bilangan real.

\(\eqalign{ 2 x + 3&\geq0\\ 2x&\geq-3\\ x&\geq-\dfrac32 }\)
\(|x-3|=\begin{cases}x-3,\ &\text{jika}\ &x\geq-\dfrac32\\-(x-3),&\text{jika}&x\lt-\dfrac32\end{cases}\)

4. Tentukan |-2 x + 5| untuk x bilangan real.

\(\eqalign{ -2 x + 5&\geq0\\ -2x&\geq-5\\ x&\leq\dfrac{-5}{-2}\\ x&\leq\dfrac52 }\)
\(|x-3|=\begin{cases}x-3,\ &\text{jika}\ &x\leq\dfrac52\\-(x-3),&\text{jika}&x\gt\dfrac52\end{cases}\)

SIFAT-SIFAT

• |a|\geq0
• |ab|=|a||b|
  \(\eqalign{ |ab|&=\sqrt{\left(ab\right)^2}\\ &=\sqrt{a^2b^2}\\ &=\sqrt{a^2}\sqrt{b^2}\\ &=|a||b| }\)
• \left|\dfrac{a}b\right|=\dfrac{|a|}{|b|}
  \(\eqalign{ \left|\dfrac{a}b\right|&=\sqrt{\left(\dfrac{a}b\right)^2}\\ &=\sqrt{\dfrac{a^2}{b^2}}\\ &=\dfrac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}\\ &=\dfrac{|a|}{|b|} }\)
• \left|a^2\right|=a^2
  a^2\geq0 sehingga \left|a^2\right|=a^2
• |a|^2=a^2
  ingat bahwa \left(\sqrt{a}\right)^2=a
  \(\eqalign{ |a|^2&=\left(\sqrt{a^2}\right)^2\\ &=a^2 }\)