Exercise Zone : Program Linier (Program Linear)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Program Linier. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Suatu perusahaan menggunakan dua jenis mesin. Untuk membuat benda A, memerlukan waktu 6 menit pada mesin I dan 10 menit pada mesin II. Sementara itu, untuk membuat benda B memerlukan waktu 4 menit pada mesin I dan 14 menit pada mesin II. Mesin I dapat bekerja paling lama 4.060 menit dan mesin II dapat bekerja paling lama 1.820 menit. Jika banyak benda A adalah x unit dan banyak benda A adalah y unit, model matematika dari permasalahan tersebut adalah ....

1. 3x+2y\leq1820; 5x+7y\leq4060; x\geq0 dan y\geq0
2. 3x+2y\leq1820; 7x+5y\leq4060; x\geq0 dan y\geq0
3. 3x+4y\leq4060; 2x+7y\leq1820; x\geq0 dan y\geq0

4. 3x+5y\leq4060; 2x+7y\leq1820; x\geq0 dan y\geq0
5. 3x+7y\leq1820; 2x+5y\leq4060; x\geq0 dan y\geq0

	A	B	Tersedia
Mesin I	6	4	4060
Mesin II	10	14	1820

6x+4y\leq4060 → 3x+2y\leq2030
10x+14y\leq1820 → 5x+7y\leq910
x\geq0 dan y\geq0

Jadi, model matematika dari permasalahan tersebut adalah 3x+2y\leq2030; 5x+7y\leq910; x\geq0 dan y\geq0 JAWAB: -

No.

Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan paling sedikit 100 pasang sepatu laki-laki dan paling sedikit 150 pasang sepatu perempuan. Tokonya hanya dapat diisi maksimum 400 pasang sepatu. Besar keuntungan untuk penjualan sepatu laki-laki adalah Rp10.000,00 untuk setiap pasang, dan besar keuntungan dari penjualan sepatu perempuan adalah Rp5.000,00 untuk setiap pasangnya. Jika sepatu laki-laki yang disediakan tidak lebih dari 150 pasang, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pemilik toko adalah ....

1. Rp3.750.000,00
2. Rp3.500.000,00
3. Rp3.250.000,00

4. Rp3.000.000,00
5. Rp2.750.000,00

Misal
x = banyak pasang sepatu laki-laki
y = banyak pasang sepatu perempuan

Sepatu laki-laki paling sedikit 100 pasang dan tidak lebih dari 150 pasang
100\leq x\leq150

Sepatu perempuan paling sedikit 150 pasang
y\geq150

maksimum 400 pasang sepatu
x+y\leq400

Keuntungan
f(x,y)=10000x+5000y

GRAFIK

	A(100,150)	B(150,150)	C(150,250)	D(100,300)
10000x	1.000.000	1.500.000	1.500.000	1.000.000
5000y	750.000	750.000	1.250.000	1.500.000
f(x,y)	1.750.000	2.250.000	2.750.000	2.500.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pemilik toko adalah Rp2.750.000,00. JAWAB: E

No.

Luas suatu tempat parkir adalah 176 m² dan dapat menampung tidak lebih dari 26 kendaraan dari jenis sedan dan minibus. Rata-rata luas lahan parkir untuk sebuah sedan 4 m² dan sebuah minibus 16 m² dengan biaya parkir untuk sedan dan minibus masing-masing Rp4.000,00 dan Rp6.000,00 per jamnya. Jika dalam satu jam tidak ada kendaraan yang pergi dan datang, pendapatan maksimum tempat parkir tersebut dalam satu jam adalah ....

1. Rp36.000,00
2. Rp66.000,00
3. Rp80.000,00

4. Rp104.000,00
5. Rp116.000,00

Grup Facebook

	sedan	minibus	Tersedia
daya tampung	x	y	26
Luas lahan parkir	4	16	176
biaya parkir	4000	6000

x+y\leq26
4x+16y\leq176\Rightarrow x+2y\leq44
x\geq0, y\geq0

Fungsi sasaran:
f(x,y)=4000x+6000y

CARA 1

Grafik

x+y\leq26

x	0	26
y	26	0

x+2y\leq44

x	0	44
y	22	0

Titik Potong Kedua Garis

\begin{aligned} x+y&=26\\ x+2y&=44\qquad-\\\hline y&=18 \end{aligned}

\begin{aligned} x+y&=26\\ x+18&=26\\ x&=8 \end{aligned}

Fungsi Sasaran

	(0,22)	(8,18)	(26,0)
4000x	0	32.000	104.000
6000x	132.000	108.000	0
f(x,y)	132.000	140.000	104.000

CARA 2 : MATRIKS

\begin{aligned} \max&=\begin{pmatrix}4000&6000\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}26\\44\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}4000&6000\end{pmatrix}\dfrac11\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}26\\44\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}4000&6000\end{pmatrix}\begin{pmatrix}8\\18\end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix}140000\end{pmatrix}\\ \end{aligned}

Jadi, pendapatan maksimumnya adalah Rp140.000,00.

No.

Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp20.000,00 dengan keuntungan 50%. Modal untuk tas model II adalah Rp40.000,00 dengan keuntungan 40%. Jika modal yang tersedia setiap harinya hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah

20000x+40000y\leq1200000\Rightarrow x+2y\leq60

x	0	60
y	30	0

x+y\leq40

x	0	40
y	40	0

Titik potong kedua garis
(20,20)
Fungsi Objektif
50\%\times20000=10000
40\%\times40000=16000

	(0,30)	(20,20)	(40,0)
10000x	0	200000	400000
16000y	480000	320000	0
f(x,y)	480000	520000	400000

Banyak tas model I = 20 buah, dan banyak tas model II = 20 buah

Persentase keuntungan:
\begin{aligned} p&=\dfrac{520000}{20\cdot20000+20\cdot40000}\times100\%\\[8pt] &=\dfrac{520000}{400000+800000}\times100\%\\[8pt] &=\dfrac{520000}{1200000}\times100\%\\ &=\boxed{\boxed{43{,}3\%}} \end{aligned}

Jadi, keuntungan terbesar yang dapat dicapai adalah 43,3%.

No.

Cokelat A yang harganya Rp2.500,00 per batang dijual dengan laba Rp300,00, sedangkan cokelat B yang harganya Rp6.000,00 per batang dijual dengan laba Rp600,00. Pedagang cokelat hanya mempunyai modal Rp3.000.000,00 dan kiosnya dapat menampung maksimum 640 batang cokelat. Jika ingin memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya, berapa banyak masing-masing cokelat yang harus ia beli?

Grup Telegram

	Harga	Daya Tampung	Laba
Cokelat A	Rp2.500,00	x	Rp300,00
Cokelat B	Rp6.000,00	y	Rp600,00
Batas	Rp3.000.000,00	640

MODEL MATEMATIKA

{2500x+6000y\leq3000000\rightarrow 5x+12y\leq6000}
{x+y\leq640}
x\geq0, y\geq0
{f(x,y)=300x+600y}

GRAFIK

{5x+12y\leq6000}

x	0	1200
y	500	0

{x+y\leq640}

x	0	640
y	640	0

A(640,0)
C(0,500)

\(\eqalign{ 5x+12y&=6000\qquad&{\color{red}\times1}\\ x+y&=640\qquad&{\color{red}\times5} }\)

\(\eqalign{ 5x+12y&=6000\\ 5x+5y&=3200\qquad{\color{red}-}\\\hline 7y&=2800\\ y&=400 }\)

\(\eqalign{ x+y&=640\\ x+400&=640\\ x&=240 }\)
B(240,400)

FUNGSI OBJEKTIF

	A(640,0)	B(240,400)	C(0,500)
300x	192000	72000	0
600y	0	240000	300000
f(x,y)	192000	312000	300000

Jadi, jika ingin memperoleh keuntungan yang sebesar-besarnya, cokelat A sebanyak 240 buah, dan cokelat B sebanyak 400 buah.

No.

Untuk membuat barang tipe A, diperlukan 4 jam kerja mesin I dan 2 jam kerja mesin II. Sedangkan untuk barang tipe B, diperlukan 5 jam kerja mesin I dan 3 jam kerja mesin II. Setiap hari, kedua mesin tersebut bekerja tidak lebih dari 15 jam. Jika setiap hari dapat dihasilkan x barang tipe A dan y barang tipe B, maka model matematika yang tepat adalah ...

1. {4x + 2y \leq15} dan {5x + 3y \leq 15}, x \geq0, y\geq0
2. {4x + 5y \leq15} dan {2x + 3y \leq 15}, x \geq0, y\geq0
3. {3x + 2y \leq15} dan {5x + 3y \leq 15}, x \geq0, y\geq0

4. {4x + 2y \leq15} dan {3x + 3y \leq 15}, x \geq0, y\geq0
5. {3x + 2y \leq15} dan {5x + 2y \leq 15}, x \geq0, y\geq0

SIMAK UI 2009

	mesin I	mesin II
barang tipe A	4 jam	2 jam
barang tipe B	5 jam	3 jam
Tersedia	15 jam	15 jam

4x+5y\leq15
{2x + 3y \leq 15}
x\geq0
y\geq0

Jadi, model matematika yang tepat adalah {4x + 5y \leq15} dan {2x + 3y \leq 15}, x \geq0, y\geq0. JAWAB: B

No.

Udin akan membuat 2 buah kue yaitu kue bolu dan kue pukis. Banyak kue bolu yang akan dibuat sedikitnya 15 buah dan paling banyak 25 buah. Kue pukis paling banyak dibuat 100 buah. Total produksi masing-masing kue adalah 200 buah. Jika kue bolu dilambangkan x dan kue pukis dilambangkan y, tentukan model matematikanya

15\leq x\leq 25
0\leq y\leq100
x+y\leq200

Jadi, model matematikanya adalah 15\leq x\leq 25 0\leq y\leq100 x+y\leq200