Exercise Zone : Induksi Matematika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Induksi matematika tipe standar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

No. 1

Buktikan dengan induksi matematika untuk n\geq5 bilangan asli berlaku {2n-3\lt2^{n-2}}

Grup Telegram

n=5,

\(\eqalign{ 2(5)-3&\lt2^{5-2}\\ 7&\lt2^3\\ 7&\lt8 }\)
BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

asumsikan benar untuk n=k\geq5 bilangan asli berlaku {2k-3\lt2^{k-2}}

BUKTIKAN BENAR UNTUK n=k+1

Kita akan buktikan benar bahwa untuk n=k+1\geq6 bilangan asli berlaku 2(k+1)-3\lt2^{k+1-2}=2^{k-1}
\(\eqalign{ 2(k+1)-3&=2k+2-3\\ &=2k-3+2\\ &\lt2^{k-2}+2\\ &\lt2^{k-2}+2^{k-2}=2\cdot2^{k-2}=2^{1+k-2}=2^{k-1} }\)
TERBUKTI

Jadi, terbukti benar untuk n\geq5 bilangan asli berlaku {2n-3\lt2^{n-2}}.

No. 2

Buktikan bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4n=2n^2+2n

Grup Telegram

n=1

\(\eqalign{ 4(1)&=2(1)^2+2(1)\\ 4&=4 }\)
BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

Asumsikan benar bahwa untuk n=k bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4k=2k^2+2k

BUKTIKAN BENAR UNTUK n=k+1

Kita buktikan benar bahwa untuk n=k+1 bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4(k+1)=2(k+1)^2+2(k+1)

\(\eqalign{ 4+8+12+\cdots+4(k+1)&=4+8+12+\cdots+4k+4(k+1)\\ &=2k^2+2k+4(k+1)\\ &=2k^2+2k+4k+4\\ &=2k^2+6k+4\\ &=(2k+2)(k+2)\\ &=2(k+1)(k+1+1)\\ &=2(k+1)^2+2(k+1) }\)
TERBUKTI

Jadi, terbukti bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4n=2n^2+2n