Exercise Zone : Induksi Matematika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Induksi matematika tipe standar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

No. 1

Buktikan dengan induksi matematika untuk n\geq5 bilangan asli berlaku {2n-3\lt2^{n-2}}

Grup Telegram

n=5,

$\begin{array}{rl}2(5)-3& <2^{5-2}\\ 7& <2^3\\ 7& <8\end{array}$
BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

asumsikan benar untuk n=k\geq5 bilangan asli berlaku {2k-3\lt2^{k-2}}

BUKTIKAN BENAR UNTUK n=k+1

Kita akan buktikan benar bahwa untuk n=k+1\geq6 bilangan asli berlaku 2(k+1)-3\lt2^{k+1-2}=2^{k-1}
$\begin{array}{rl}2(k+1)-3& =2k+2-3\\ & =2k-3+2\\ & <2^{k-2}+2\\ & <2^{k-2}+2^{k-2}=2\cdot 2^{k-2}=2^{1+k-2}=2^{k-1}\end{array}$
TERBUKTI

Jadi, terbukti benar untuk n\geq5 bilangan asli berlaku {2n-3\lt2^{n-2}}.

No. 2

Buktikan bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4n=2n^2+2n

Grup Telegram

n=1

$\begin{array}{rl}4(1)& =2(1{)}^2+2(1)\\ 4& =4\end{array}$
BENAR

HIPOTESIS INDUKSI

Asumsikan benar bahwa untuk n=k bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4k=2k^2+2k

BUKTIKAN BENAR UNTUK n=k+1

Kita buktikan benar bahwa untuk n=k+1 bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4(k+1)=2(k+1)^2+2(k+1)

$\begin{array}{rl}4+8+12+\cdots +4(k+1)& =4+8+12+\cdots +4k+4(k+1)\\ & =2k^2+2k+4(k+1)\\ & =2k^2+2k+4k+4\\ & =2k^2+6k+4\\ & =(2k+2)(k+2)\\ & =2(k+1)(k+1+1)\\ & =2(k+1{)}^2+2(k+1)\end{array}$
TERBUKTI

Jadi, terbukti bahwa untuk n bilangan positif berlaku:
4+8+12+\cdots+4n=2n^2+2n