Exercise Zone : Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel tipe standar. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

Standar SBMPTN

No. 1

{a,b,c} adalah himpunan penyelesaian \begin{cases}3a+2b+c=7\\a+b+2c=7\\a+2b+2c=6\end{cases} Nilai a+b+c adalah

1. -2
2. 0
3. 2

4. 4
5. 6

\(\begin{aligned} 3a+2b+c&=7\\ a+b+2c&=7\\ a+2b+2c&=6&\color{red}{+}\\\hline 5a+5b+5c&=20\\ a+b+c&=\dfrac{20}5\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}\)

Jadi, a+b+c=4.
JAWAB: D

No. 2

Diketahui sistem persamaan linear berikut \begin{cases}ax+y+z&=1\\x+ay+z&=a\\x+y+az&=a^2\end{cases}

1. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut dinyatakan dalam a.
   Penuntun: jumlahkan ketiga persamaan dan carilah nilai x, y, dan z
2. Tentukan nilai a agar sistem tersebut tidak mempunyai penyelesaian.
   Penuntun: libatkan pembagian dengan nol.
3. Apakah ada nilai a yang menyebabkan sistem tersebut mempunyai banyak penyelesaian?

Grup Whatsapp

1. 
   \(\eqalign{ ax+y+z&=1\\x+ay+z&=a\\x+y+az&=a^2\qquad&+\\\hline (a+2)x+(a+2)y+(a+2)z&=a^2+a+1\\ (a+2)(x+y+z)&=a^2+a+1\\ x+y+z&=\dfrac{a^2+a+1}{a+2} }\)
   
   \(\eqalign{ ax+y+z&=1\\ ax+\dfrac{a^2+a+1}{a+2}-x&=1\\ (a-1)x&=1-\dfrac{a^2+a+1}{a+2}\\ &=\dfrac{a+2-\left(a^2+a+1\right)}{a+2}\\ &=\dfrac{a+2-a^2-a-1}{a+2}\\ &=\dfrac{-a^2+1}{a+2}\\ x&=\dfrac{-(a+1)(a-1)}{(a-1)(a+2)}\\ &=\dfrac{-a-1}{a+2}\\ }\)
   
   \(\eqalign{ x+ay+z&=a\\ ay+\dfrac{a^2+a+1}{a+2}-y&=a\\ (a-1)y&=a-\dfrac{a^2+a+1}{a+2}\\ &=\dfrac{a(a+2)-\left(a^2+a+1\right)}{a+2}\\ &=\dfrac{a^2+2a-a^2-a-1}{a+2}\\ y&=\dfrac{a-1}{(a-1)(a+2)}\\ &=\dfrac1{a+2} }\)
   
   \(\eqalign{ x+y+az&=a^2\\ az+\dfrac{a^2+a+1}{a+2}-z&=a^2\\ (a-1)z&=a^2-\dfrac{a^2+a+1}{a+2}\\ &=\dfrac{a^2(a+2)-\left(a^2+a+1\right)}{a+2}\\ &=\dfrac{a^3+2a^2-a^2-a-1}{a+2}\\ z&=\dfrac{a^3+a^2-a-1}{(a-1)(a+2)}\\ &=\dfrac{(a-1)(a^2+2a+1)}{(a-1)(a+2)}\\ &=\dfrac{a^2+2a+1}{a+2} }\)
   
2. agar tidak mempunyai penyelesaian, maka:
   \(\eqalign{ a+2&=0\\ a&=-2 }\)
   
3. tidak ada

Jadi,

1. x=\dfrac{-a-1}{a+2}, y=\dfrac1{a+2}, z=\dfrac{a^2+2a+1}{a+2}.
2. a=-2
3. tidak ada

No. 3

Himpunan penyelesaian dari SPLTV \begin{cases}x+y-z&=-1\\2x-2y+3z&=8\\2x-y+2z&=9\end{cases} adalah ....

1. (-15,2,14)
2. (-14,2,15)
3. (-2,-15,14)

4. (-2,15,14)
5. (-2,14,15)

Grup Telegram

CARA BIASA

(1) dan (2)

x+y-z=-1\ {\color{red}\times2}

\(\eqalign{ 2x+2y-2z&=-2\\ 2x-2y+3z&=8\ &{\color{red}-}\\\hline 4y-5z&=-10\ &{\color{red}(4)} }\)

(2) dan (3)

\(\eqalign{ 2x-2y+3z&=8\\ 2x-y+2z&=9\ &{\color{red}-}\\\hline -y+z&=-1\ &{\color{red}(5)} }\)

(4) dan (5)

\(\eqalign{ 4y-5z&=-10\\ -y+z&=-1\ &{\color{red}\times4} }\)

\(\eqalign{ 4y-5z&=-10\\ -4y+4z&=-4\ &{\color{red}+}\\\hline -z&=-14\\ z&=\boxed{\boxed{14}} }\)

Substitusikan ke (5)
\(\eqalign{ -y+z&=-1\\ -y+14&=-1\\ -y&=-15\\ y&=\boxed{\boxed{15}} }\)

Substitusikan ke (1)
\(\eqalign{ x+y-z&=-1\\ x+15-14&=-1\\ x+1&=-1\\ x&=\boxed{\boxed{-2}} }\)

---

CARA CEPAT

{2x-y+2z=9\ {\color{red}\times-1}\rightarrow -2x+y-2z=-9}

\(\eqalign{ x+y-z&=-1\\2x-2y+3z&=8\\-2x+y-2z&=-9\ &{\color{red}+}\\\hline x&=\boxed{\boxed{-2}} }\)

\(\eqalign{ x+y-z&=-1\ &{\color{red}\times-2}\\2x-2y+3z&=8\ &{\color{red}\times-3}\\2x-y+2z&=9\ &{\color{red}\times4} }\)

\(\eqalign{ -2x-2y+2z&=2\\ -6x+6y-9z&=-24\\ 8x-4y+8z&=36\ &{\color{red}+}\\\hline z&=\boxed{\boxed{14}} }\)

\(\eqalign{ x+y-z&=-1\\ -2+y-14&=-1\\ y-16&=-1\\ y&=\boxed{\boxed{15}} }\)

Jadi, himpunan penyelesaian dari SPLTV \begin{cases}x+y-z&=-1\\2x-2y+3z&=8\\2x-y+2z&=9\end{cases} adalah (-2,15,14).
JAWAB: D