Tipe: |
|
No.
Berapakah bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan $1^5-1$, $2^5-2$, ..., $n^5-n$?ALTERNATIF PENYELESAIAN
$1^5-1=0$
$2^5-2=30$
Untuk $n\gt2$ maka $n^5-n\gt30$
$n^5-n=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)$
$(n-1)n(n+1)$ habis dibagi 6.
Kita periksa apakah $n^5-n$ habis dibagi 5.
$2^5-2=30$
Untuk $n\gt2$ maka $n^5-n\gt30$
$n^5-n=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)$
$(n-1)n(n+1)$ habis dibagi 6.
Kita periksa apakah $n^5-n$ habis dibagi 5.
- Untuk $n=2\pmod5$
\begin{aligned} n^5-n&=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)\\ &=(1)(2)(3)(5)\pmod5\\ &=0\pmod5 \end{aligned}
- Untuk $n=3\pmod5$
\begin{aligned} n^5-n&=(n-1)n(n+1)\left(n^2+1\right)\\ &=(2)(3)(4)(10)\pmod5\\ &=0\pmod5 \end{aligned}
No.
Boruto menulis bilangan dari 998 sampai 1001. lalu ia menjumlahkan seluruh angka pada bilangan tersebut, sehingga didapat $9+9+8+9+9+9+1+0+0+0+1+0+0+1=56$. Jika Boruto menuliskan bilangan dari 1 sampai 2017, maka tentukan jumlah dari seluruh angka pada bilangan yang Boruto tulis.- $25732$
- $28117$
- $30125$
- $41739$
ALTERNATIF PENYELESAIAN
| Angka | Semua (0-9) | 2 (posisi ribuan) | Semua (0-9) (posisi satuan) | 1 (posisi puluhan) | 0-7 (posisi satuan) |
| Pada Bilangan | 1-1999 | 2000-2017 | 2000-2009 | 2010-2017 | 2010-2017 |
| Jumlah Angka | $2\cdot45\cdot3\cdot10^{3-1}+1000=28000$ | $2\cdot18=36$ | 45 | 8 | 28 |
No.
Hitunglah \[(723+5)^2-\left(723^2+5^2\right)\]- $723$
- $1446$
- $3615$
- $7230$
ALTERNATIF PENYELESAIAN
\begin{aligned}
(723+5)^2-\left(723^2+5^2\right)&=\cancel{723^2}+2\cdot723\cdot5+\cancel{5^2}-\cancel{723^2}-\cancel{5^2}\\
&=\boxed{\boxed{7230}}
\end{aligned}
(723+5)^2-\left(723^2+5^2\right)&=\cancel{723^2}+2\cdot723\cdot5+\cancel{5^2}-\cancel{723^2}-\cancel{5^2}\\
&=\boxed{\boxed{7230}}
\end{aligned}
No.
Jika $m$ bilangan bulat positif, tentukan nilai $m$ yang menyebabkan $2002 : (m^2-2)$ juga merupakan bilangan bulat positif!ALTERNATIF PENYELESAIAN
Karena $2002 = 2\cdot7\cdot11\cdot13$, maka $m^2-2$ harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.
Dan yang memenuhi $m$ sebagai bilangan bulat positif adalah :
$m^2-2 = 2$, dengan $m = 2$
$m^2-2 = 7$, dengan $m = 3$
$m^2-2 = 14$, dengan $m = 4$
Dan yang memenuhi $m$ sebagai bilangan bulat positif adalah :
$m^2-2 = 2$, dengan $m = 2$
$m^2-2 = 7$, dengan $m = 3$
$m^2-2 = 14$, dengan $m = 4$
No.
Nomor polisi mobil di sebuah negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah ....- $9999$
- $9998$
- $9995$
- $9990$
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangannya adalah 999A, sehingga jumlah keempat angkanya adalah $27+A$. nilai $A$ terbesar agar $27+A$ habis dibagi 5 adalah 8.
No.
Enam bilangan berurutan ditulis pada papan tulis. Ketika satu dari enam bilangan tersebut dihapus, maka jumlah dari lima bilangan tersisa adalah $2019$. Berapakah jumlah dari digit-digit yang dihapus?- $4$
- $5$
- $6$
- $7$
- $8$
ALTERNATIF PENYELESAIAN
Bilangan-bilangannya adalah $a$, $a+1$, $a+2$, $a+3$, $a+4$, dan $a+5$.
Misal bilangan yang dihapus adalah $a+k$, dengan $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$.
\begin{aligned} a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5-(a+k)&=2019\\ 5a+15-k&=2019\\ 5a+15&=2019+k\\ 5(a+3)&=2019+k\\ a+3&=\dfrac{2019+k}5\\[8pt] &=\dfrac{2015+4+k}5\\[8pt] &=Z+\dfrac{4+k}5 \end{aligned} Cari nilai $k$ sehingga $4+k$ habis dibagi $5$. Didapat $k=1$. \begin{aligned} a+3&=\dfrac{2019+1}5\\[8pt] &=\dfrac{2020}5\\[8pt] &=404\\ a&=401 \end{aligned}
Bilangan yang dihapus adalah
$a+k=401+1=402$
$4+0+2=6$
Misal bilangan yang dihapus adalah $a+k$, dengan $k\in\{0,1,2,3,4,5\}$.
\begin{aligned} a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5-(a+k)&=2019\\ 5a+15-k&=2019\\ 5a+15&=2019+k\\ 5(a+3)&=2019+k\\ a+3&=\dfrac{2019+k}5\\[8pt] &=\dfrac{2015+4+k}5\\[8pt] &=Z+\dfrac{4+k}5 \end{aligned} Cari nilai $k$ sehingga $4+k$ habis dibagi $5$. Didapat $k=1$. \begin{aligned} a+3&=\dfrac{2019+1}5\\[8pt] &=\dfrac{2020}5\\[8pt] &=404\\ a&=401 \end{aligned}
Bilangan yang dihapus adalah
$a+k=401+1=402$
$4+0+2=6$
No.
Jumlah semua bilangan yang selisih antara bilangan tersebut dan jumlah digit-digit penyusunnya sama dengan 2016 adalah ....ALTERNATIF PENYELESAIAN
Misal bilangan $x$ ditulis dalam bentuk $\overline{\cdots X_4X_3X_2X_1}$, dimana $X_1$ menyatakan satuan, $X_2$ menyatakan puluhan dan seterusnya.
$\overline{\cdots X_4X_3X_2X_1}=\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1$
\begin{aligned} \left(\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1\right)-\left(\cdots+X_4+X_3+X_2+X_1\right)&=2016\\ \cdots+999X_4+99X_3+9X_2&=2016\\ \cdots+111X_4+11X_3+X_2&=224 \end{aligned} Kita lihat bahwa bilangannya tidak mungkin 5 digit atau lebih. Kita tahu bahwa nilai terbesar dari $11X_3+X_2$ adalah $108$ sehingga didapat bilangannya mempunyai 4 digit.
Jika $X_4=1$, nilai terbesar $111X_4+11X_3+X_2$ adalah 219. Didapat $X_4=2$, $X_3=0$, $X_2=2$, dan $X_1\in\{0,1,2,\cdots,9\}$.
Jumlah semua bilangan dari $2020$ hingga $2029$ adalah \begin{aligned} \frac{10}2(2020+2029)=20245 \end{aligned}
$\overline{\cdots X_4X_3X_2X_1}=\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1$
\begin{aligned} \left(\cdots+1000X_4+100X_3+10X_2+X_1\right)-\left(\cdots+X_4+X_3+X_2+X_1\right)&=2016\\ \cdots+999X_4+99X_3+9X_2&=2016\\ \cdots+111X_4+11X_3+X_2&=224 \end{aligned} Kita lihat bahwa bilangannya tidak mungkin 5 digit atau lebih. Kita tahu bahwa nilai terbesar dari $11X_3+X_2$ adalah $108$ sehingga didapat bilangannya mempunyai 4 digit.
Jika $X_4=1$, nilai terbesar $111X_4+11X_3+X_2$ adalah 219. Didapat $X_4=2$, $X_3=0$, $X_2=2$, dan $X_1\in\{0,1,2,\cdots,9\}$.
Jumlah semua bilangan dari $2020$ hingga $2029$ adalah \begin{aligned} \frac{10}2(2020+2029)=20245 \end{aligned}
0 Komentar
Silahkan berkomentar dengan santun di sini. Anda juga boleh bertanya soal matematika atau mengoreksi jawaban di atas