HOTS Zone : Bilangan Bulat

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Bulat. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No. 1

Berapakah bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan $1^5-1$, $2^5-2$, ..., $n^5-n$?

Sukses Olimpiade Matematika SMA

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$1^5-1=0$
$2^5-2=30$
Untuk $n>2$ maka $n^5-n>30$

$n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)$

$(n-1)n(n+1)$ habis dibagi 6.

Kita periksa apakah $n^5-n$ habis dibagi 5.

• Untuk $n=2(\mathrm{mod}5)$
  $$\begin{array}{rl}{n}^5-n& =(n-1)n(n+1)(n^2+1)\\ & =(1)(2)(3)(5)(\mathrm{mod}5)\\ & =0(\mathrm{mod}5)\end{array}$$
  
• Untuk $n=3(\mathrm{mod}5)$
  $$\begin{array}{rl}{n}^5-n& =(n-1)n(n+1)(n^2+1)\\ & =(2)(3)(4)(10)(\mathrm{mod}5)\\ & =0(\mathrm{mod}5)\end{array}$$
  

Terbukti bahwa $n^5-n$ habis dibagi 5.

Jadi, bilangan bulat positif terbesar yang membagi semua bilangan $1^5-1$, $2^5-2$, ..., $n^5-n$ adalah 30.

---

No. 2

Boruto menulis bilangan dari 998 sampai 1001. lalu ia menjumlahkan seluruh angka pada bilangan tersebut, sehingga didapat $9+9+8+9+9+9+1+0+0+0+1+0+0+1=56$. Jika Boruto menuliskan bilangan dari 1 sampai 2017, maka tentukan jumlah dari seluruh angka pada bilangan yang Boruto tulis.

1. $25732$
2. $28117$

3. $30125$
4. $41739$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Angka	Semua (0-9)	2 (posisi ribuan)	Semua (0-9) (posisi satuan)	1 (posisi puluhan)	0-7 (posisi satuan)
Pada Bilangan	1-1999	2000-2017	2000-2009	2010-2017	2010-2017
Jumlah Angka	$2\cdot 45\cdot 3\cdot {10}^{3-1}+1000=28000$	$2\cdot 18=36$	45	8	28

$28000+36+45+8+28=28117$

Jadi, jumlah dari seluruh angka pada bilangan yang Boruto tulis adalah 28117.
JAWAB: B

---

No. 3

Hitunglah $$(723+5{)}^2-({723}^2+5^2)$$

1. $723$
2. $1446$

3. $3615$
4. $7230$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}(723+5{)}^2-({723}^2+5^2)& =\cancel{{723}^2}+2\cdot 723\cdot 5+\cancel{5^2}-\cancel{{723}^2}-\cancel{5^2}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 7230}}}}\end{array}$$

Jadi, $(723+5{)}^2-({723}^2+5^2)=7230$.
JAWAB: D

---

No. 4

Jika $m$ bilangan bulat positif, tentukan nilai $m$ yang menyebabkan $2002:(m^2-2)$ juga merupakan bilangan bulat positif!

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Karena $2002=2\cdot 7\cdot 11\cdot 13$, maka $m^2-2$ harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut.
Dan yang memenuhi $m$ sebagai bilangan bulat positif adalah :
$m^2-2=2$, dengan $m=2$
$m^2-2=7$, dengan $m=3$
$m^2-2=14$, dengan $m=4$

Jadi, $m=2$, $3$, atau $4$.

---

No. 5

Nomor polisi mobil di sebuah negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah ....

1. $9999$
2. $9998$

3. $9995$
4. $9990$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangannya adalah 999A, sehingga jumlah keempat angkanya adalah $27+A$. nilai $A$ terbesar agar $27+A$ habis dibagi 5 adalah 8.

Jadi, nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah 9998.
JAWAB: B

---

No. 6

Enam bilangan berurutan ditulis pada papan tulis. Ketika satu dari enam bilangan tersebut dihapus, maka jumlah dari lima bilangan tersisa adalah $2019$. Berapakah jumlah dari digit-digit yang dihapus?

1. $4$
2. $5$
3. $6$

4. $7$
5. $8$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Bilangan-bilangannya adalah $a$, $a+1$, $a+2$, $a+3$, $a+4$, dan $a+5$.
Misal bilangan yang dihapus adalah $a+k$, dengan $k\in \{0,1,2,3,4,5\}$.
$$\begin{array}{rl}a+a+1+a+2+a+3+a+4+a+5-(a+k)& =2019\\ 5a+15-k& =2019\\ 5a+15& =2019+k\\ 5(a+3)& =2019+k\\ a+3& ={\displaystyle \frac{2019+k}{5}}\\ & ={\displaystyle \frac{2015+4+k}{5}}\\ & =Z+{\displaystyle \frac{4+k}{5}}\end{array}$$ Cari nilai $k$ sehingga $4+k$ habis dibagi $5$. Didapat $k=1$. $$\begin{array}{rl}a+3& ={\displaystyle \frac{2019+1}{5}}\\ & ={\displaystyle \frac{2020}{5}}\\ & =404\\ a& =401\end{array}$$
Bilangan yang dihapus adalah
$a+k=401+1=402$
$4+0+2=6$

Jadi, jumlah dari digit-digit yang dihapus adalah 6.
JAWAB: C

---

No. 7

Jumlah semua bilangan yang selisih antara bilangan tersebut dan jumlah digit-digit penyusunnya sama dengan 2016 adalah ....

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Misal bilangan $x$ ditulis dalam bentuk $\overline{\cdots X_4{X}_3{X}_2{X}_1}$, dimana $X_1$ menyatakan satuan, $X_2$ menyatakan puluhan dan seterusnya.
$\overline{\cdots X_4{X}_3{X}_2{X}_1}=\cdots +1000X_4+100X_3+10X_2+X_1$
$$\begin{array}{rl}(\cdots +1000X_4+100X_3+10X_2+X_1)-(\cdots +X_4+X_3+X_2+X_1)& =2016\\ \cdots +999X_4+99X_3+9X_2& =2016\\ \cdots +111X_4+11X_3+X_2& =224\end{array}$$ Kita lihat bahwa bilangannya tidak mungkin 5 digit atau lebih. Kita tahu bahwa nilai terbesar dari $11X_3+X_2$ adalah $108$ sehingga didapat bilangannya mempunyai 4 digit.
Jika $X_4=1$, nilai terbesar $111X_4+11X_3+X_2$ adalah 219. Didapat $X_4=2$, $X_3=0$, $X_2=2$, dan $X_1\in \{0,1,2,\cdots ,9\}$.
Jumlah semua bilangan dari $2020$ hingga $2029$ adalah $$\begin{array}{r}\frac{10}{2}(2020+2029)=20245\end{array}$$

Jadi, jumlah semua bilangan yang selisih antara bilangan tersebut dan jumlah digit-digit penyusunnya sama dengan 2016 adalah 20245.

---