SBMPTN Zone : Kubus

Berikut ini adalah kumpulan soal memgenai Kubus tingkat SBMPTN. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.
Tingkat kesulitan :

• Tingkat kesulitan 👉
• Dasar
• SBMPTN
• Olimpiade

---

No. 1

Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH memiliki panjang sisi a cm. Titik P berada di rusuk AB sehingga {AP:PB=1:3}, titik Q berada di rusuk BC sehingga {BQ:QC=3:1}, titik R berada di rusuk BF sehingga {BR:RF=3:1}. Jika \alpha adalah sudut antara bidang PQR dan garis DR, maka nilai \tan\alpha= ....

1. \dfrac{5\sqrt2}{14}
2. \dfrac{14}{\sqrt{246}}
3. \dfrac{7\sqrt{246}}{123}

4. \dfrac{\sqrt{246}}{14}
5. \dfrac12\sqrt2

DB=a\sqrt2
OB=\dfrac12DB=\dfrac12a\sqrt2

OS:SB=AP:PB=1:3

$\begin{array}{rl}SB& ={\displaystyle \frac{3}{1+3}}OB\\ & ={\displaystyle \frac{3}{4}}\left({\displaystyle \frac{1}{2}}a\sqrt{2}\right)\\ & ={\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}\end{array}$

BR=\dfrac34a

$\begin{array}{rl}\tan \alpha & =\tan (\mathrm{\angle }BRD-\mathrm{\angle }BRS)\\ & ={\displaystyle \frac{\tan \mathrm{\angle }BRD-\tan \mathrm{\angle }BRS}{1+\tan \mathrm{\angle }BRD\tan \mathrm{\angle }BRS}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{DB}{BR}}-{\displaystyle \frac{SB}{BR}}}{1+{\displaystyle \frac{DB}{BR}}\cdot {\displaystyle \frac{SB}{BR}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}-{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}}{1+{\displaystyle \frac{a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{3}{8}}a\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{3}{4}}a}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{2}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}\sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}\sqrt{2}}{1+{\displaystyle \frac{4}{3}}}}\\ & ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}\sqrt{2}}{{\displaystyle \frac{7}{3}}}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{6}}\\ & ={\displaystyle \frac{5\sqrt{2}}{14}}\end{array}$

JAWAB: A

---

No. 2

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2\sqrt2 cm. Jika P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah-tengah BC, maka jarak titik H dengan garis PQ adalah ... cm.

1. \sqrt{15}
2. 4
3. \sqrt{17}

4. 3\sqrt2
5. >\sqrt{19}

SBMPTN 2018

Hubungkan titik H dan titik P, hubungkan titik H dan titik Q. Segitiga HPQ merupakan segitiga sama kaki sehingga jarak titik H ke garis PQ adalah panjang garis dari titik H ke tengah garis PQ. Misal titik tengah PQ adalah titik R.
{AP=PB=BQ=\dfrac12\left(2\sqrt2\right)=\sqrt2}

{PQ=\sqrt2\cdot\sqrt2=2}

$\begin{array}{rl}PR& ={\displaystyle \frac{1}{2}}PQ\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(2)\\ & =1\end{array}$

HA=2\sqrt2\cdot\sqrt2=4

$\begin{array}{rl}HP& =\sqrt{H{A}^2+A{P}^2}\\ & =\sqrt{4^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{16+4}\\ & =\sqrt{20}\end{array}$

$\begin{array}{rl}HR& =\sqrt{H{P}^2-P{R}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\sqrt{20}\right)}^2-1^2}\\ & =\sqrt{20-1}\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle \sqrt{19}}}}}\end{array}$

Jadi, jarak titik H dengan garis PQ adalah \sqrt{19} cm
JAWAB: E

---

No. 3

Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk x. Q adalah titik tengah dari rusuk GC, dan R adalah perpanjangan garis AB sehingga {AB + BR = AR = 4x}. Maka, perbandingan volume limas Q.ARC dan volume kubus ABCD.EFGH adalah

1. 1:1
2. 1:2
3. 2:1

4. 3:1
5. 1:3

t=CQ=\dfrac12x

$\begin{array}{rl}{L}_a& =L_{ARC}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot AR\cdot BC\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 4x\cdot x\\ & =2x^2\end{array}$

$\begin{array}{rl}{V}_{Q.ARC}& ={\displaystyle \frac{1}{3}}{L}_{a}t\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2x^2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}x\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3\end{array}$

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{v_{Q.ARC}}{V_{ABCD.EFGH}}}& ={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3}{x^3}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =1:3\end{array}$

Jadi, perbandingan volume limas Q.ARC dan volume kubus ABCD.EFGH adalah 1:3.
JAWAB: E

---

No. 4

Pada kubus ABCD.EFGH, P pada EG sehingga {EP:PG=1:2}. Jika jarak E ke garis AP adalah a, maka panjang rusuk kubus tersebut adalah

1. \dfrac{a}{11}\sqrt2
2. \dfrac{a}2\sqrt{11}
3. a\sqrt{22}

4. \dfrac{a}2\sqrt{22}
5. a\sqrt{11}

Misal jarak E ke AP adalah EQ=a, dan panjang rusuknya adalah s.

$\begin{array}{rl}AP& =\sqrt{s^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}s\sqrt{2}\right)}^2}\\ & =\sqrt{s^2+{\displaystyle \frac{2}{9}}{s}^2}\\ & =\sqrt{{\displaystyle \frac{11}{9}}{s}^2}\\ & ={\displaystyle \frac{s}{3}}\sqrt{11}\end{array}$

$\begin{array}{rl}EQ& ={\displaystyle \frac{AE\cdot EP}{AP}}\\ a& ={\displaystyle \frac{s\cdot {\displaystyle \frac{s}{3}}}{{\displaystyle \frac{s}{3}}\sqrt{11}}}\\ & ={\displaystyle \frac{s}{\sqrt{11}}}\\ s& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle a\sqrt{11}}}}}\end{array}$

Jadi, panjang rusuk kubus tersebut adalah a\sqrt{11}.
JAWAB: E