HOTS Zone : Pangkat (Eksponen)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Pangkat. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp. Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai eksponen (bentuk pangkat) tipe HOTS. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Facebook atau Telegram.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Jika
2^a=3,
3^b=4,
4^c=5,
5^d=6,
6^e=7,
7^f=8, dan
8^g=9,
maka hasil dari bcdef(a+g) adalah....

OMVN 2018

2^a=3\Rightarrow a={^2\negthinspace\log3}
3^b=4\Rightarrow b={^3\negthinspace\log4}
4^c=5\Rightarrow c={^4\negthinspace\log5}
5^d=6\Rightarrow d={^5\negthinspace\log6}
6^e=7\Rightarrow e={^6\negthinspace\log7}
7^f=8\Rightarrow f={^7\negthinspace\log8}
8^g=9\Rightarrow g={^8\negthinspace\log9}

\begin{aligned} bcdef(a+g)&={^3\negthinspace\log4}\cdot{^4\negthinspace\log5}\cdot{^5\negthinspace\log6}\cdot{^6\negthinspace\log7}\cdot{^7\negthinspace\log8}\left({^2\negthinspace\log3}+{^8\negthinspace\log9}\right)\\ &={^3\negthinspace\log8}\left({^2\negthinspace\log3}+{^8\negthinspace\log9}\right)\\ &={^2\negthinspace\log3}\cdot{^3\negthinspace\log8}+{^3\negthinspace\log8}\cdot{^8\negthinspace\log9}\\ &={^2\negthinspace\log8}+{^3\negthinspace\log9}\\ &=3+2\\ &=\boxed{\boxed{5}} \end{aligned}

Jadi, bcdef(a+g)=5.

No.

Diketahui A=\{0,1,2,3,4\}; a, b, c adalah tiga anggota yang berbeda dari A, dan \left(a^b\right)^c=n. Nilai maksimum dari n adalah

1. 4096
2. 6561
   

3. 9561
4. 9651
   

OSK SMP 2019

Jika a=0 maka n=0
Jika a=1 maka n=1
Jadi kemungkinan nilai untuk a adalah 2, 3, atau 4. Untuk mendapatkan nilai maksimum dari n, maka b dan c adalah 2 bilangan terbesar selain a.
Jika a=2, maka:
n=\left(2^3\right)^4=2^{12}=4096

Jika a=3, maka:
n=\left(3^2\right)^4=3^8=6561

Jika a=4, maka:
n=\left(4^2\right)^3=4^6=4096

Jadi, nilai maksimum dari n adalah 6561. JAWAB: B

No.

Diketahui m^{x+1}=n^{2-x}=p. Jika x_1 dan x_2 memenuhi persamaan m\times n=p^6, tentukan nilai {x_1}^2+{x_2}^2.

Facebook

\begin{aligned} m^{x+1}&=p\\ m&=p^{\frac1{x+1}} \end{aligned}

\begin{aligned} n^{2-x}&=p\\ n&=p^{\frac1{2-x}} \end{aligned}

\begin{aligned} m\times n&=p^6\\ p^{\frac1{x+1}}\times p^{\frac1{2-x}}&=p^6\\ p^{\frac1{x+1}+\frac1{2-x}}&=p^6\\ p^{\frac{2-x+x+1}{(x+1)(2-x)}}&=p^6\\ p^{\frac3{-x^2+x+2}}&=p^6\\ \frac3{-x^2+x+2}&=6\\ 3&=-6x^2+6x+12\\ 6x^2-6x-9&=0\\ 2x^2-2x-3&=0 \end{aligned}

x_1+x_2=-\dfrac{b}a=-\dfrac{-2}2=1\\[8pt] x_1x_2=\dfrac{c}a=\dfrac{-3}2=-\dfrac32

\begin{aligned} {x_1}^2+{x_2}^2&=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ &=(1)^2-2\left(-\dfrac32\right)\\ &=1+3\\ &=\boxed{\boxed{4}} \end{aligned}

Jadi, {x_1}^2+{x_2}^2=4.

No.

Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi a^b = 2^{30}-2^{29}, maka nilai a + b adalah

1. 29
2. 30
   
3. 31
   

4. 32
5. 33
   

\begin{aligned} a^b &= 2^{30}-2^{29}\\ &=2^{29}(2-1)\\ &=2^{29} \end{aligned}

a=2
b=29

a+b=2+29=31

Jadi, a + b=31. JAWAB: C

No.

Jika 3^x=4^y=12^z buktikanlah bahwa {z=\dfrac{xy}{x+y}}

Grup Whatsapp

3^x=4^y=12^z=k
3=k^{\frac1x}
4=k^{\frac1y}
12=k^{\frac1z}

\begin{aligned} 12&=3\cdot4\\ k^{\frac1z}&=k^{\frac1x}k^{\frac1y}\\ k^{\frac1z}&=k^{\frac1x+\frac1y}\\ \frac1z&=\frac1x+\frac1y\\ &=\dfrac{x+y}{xy}\\ z&=\dfrac{xy}{x+y} \end{aligned}

Jadi, terbukti bahwa {z=\dfrac{xy}{x+y}}.

No.

Jika {x = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}} dan {y=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}}, buktikan bahwa {y^{x}= x^{y}}

Canadian MO 1974

\begin{aligned} x&=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\\ &=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n}\\ &=\dfrac{(n+1)^n}{n^n} \end{aligned}

\begin{aligned} y&=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1}\\ &=\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}\\ &=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}} \end{aligned}

\begin{aligned} \log y^x&=x\log y\\ &=\dfrac{(n+1)^n}{n^n}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}\\ &=\dfrac{(n+1)^n}{n^n}\cdot(n+1)\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\\ &=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \log x^y&=y\log x\\ &=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n}\\ &=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^{n+1}}\cdot n\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\\ &=\dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\log\left(\dfrac{n+1}{n}\right)\\ \end{aligned}

\begin{aligned} \log y^x&=\log x^y\\ y^x&=x^y \end{aligned}
TERBUKTI

Jadi, terbukti bahwa {y^{x}= x^{y}}. Butuh penjelasan dalam video? komen di bawah dan sebutkan nomor berapa yang ingin dibuatkan video penjelasannya.

No.

Jika {a=60(99)^{99}+40(99)^{99}}, {b=99^{100}}, dan {c=90(99)^{99}}, maka hubungan antara a, b, c yang paling tepat adalah ....

1. c\lt a\lt b
2. b\lt c\lt a
3. a\lt b\lt c

4. c\lt b\lt a
5. b\lt a\lt c

Telegram

{\begin{aligned} a&=60(99)^{99}+40(99)^{99}\\ &=100(99)^{99}\\ \end{aligned}}

\begin{aligned} b&=99^{100}\\ &=99^{1+99}\\ &=99(99)^{99} \end{aligned}

\begin{array}{rcccl} 90(99)^{99}&\lt&99(99)^{99}&\lt&100(99)^{99}\\ c&\lt&b&\lt&a \end{array}

Jadi, hubungan antara a, b, c yang paling tepat adalah c\lt b\lt a. JAWAB: D

No.

Diberikan bilangan bulat positif empat angka A don B sedemikian sehingga {A \times B=16^5+2^{10}}. Hasil dori {A + B=} ....

1. 2045
2. 2046
3. 2047

4. 2048
5. 2049

C S C POSI 2021

\begin{aligned} A \times B&=16^5+2^{10}\\ &=\left(2^4\right)^5+2^{10}\\ &=2^{20}+2^{10}\\ &=2^{10}\left(2^{10}+1\right)\\ &=1024(1025) \end{aligned}

\begin{aligned} A+B&=1024+1025\\ &=\boxed{\boxed{2049}} \end{aligned}

Jadi, {A + B=2049} JAWAB: E