Exercise Zone : Teorema Factor (Factor Theorem)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Teorema Faktor tingkat dasar. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

---

No. 1

Jika a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga {x^2-x-1} adalah faktor dari {ax^3+bx^2+1}, maka nilai b sama dengan....

1. -2
2. -1
   
3. 0
   

4. 1
5. 2
   

SUMBER

\begin{aligned}
ax^3+bx^2+1&=\left(x^2-x-1\right)(ax-1)\\
ax^3+bx^2+1&=ax^3-x^2-ax^2+x-ax+1\\
ax^3+bx^2+1&=ax^3+(-a-1)x^2+(1-a)x+1
\end{aligned}

\begin{aligned}
1-a&=0\\
a&=1
\end{aligned}

\begin{aligned}
b&=-a-1\\
&=-1-1\\
&=-2
\end{aligned}

Jadi, b=-2.
JAWAB: A

---

No. 2

Diketahui suku banyak {p(x)=3x^4-2x^3+Ax^2+Bx-8}. Jika {p(2)=0} dan {p(1)=0}, maka nilai {A+B=} ....

1. -73
2. -19
   
3. -3
   

4. 7
5. 26
   

p(x)=3x^4-2x^3+Ax^2+Bx-8

\begin{aligned}
p(1)&=0\\
3(1)^4-2(1)^3+A(1)^2+B(1)-8&=0\\
3-2+A+B-8&=0\\
A+B-7&=0\\
A+B&=7
\end{aligned}

Jadi, A+B=7.

---

No. 3

Hitunglah nilai k dan m agar nilai-nilai dari polinomial {p(x)=2x^3+kx^2+mx-3} untuk {x=-1} dan {x=-3}, kedua-duanya bernilai nol.

p(x)=2x^3+kx^2+mx-3

\begin{aligned}
p(-1)&=0\\
2(-1)^3+k(-1)^2+m(-1)-3&=0\\
-2+k-m-3&=0\\
k-m-5&=0\\
k-m&=5\qquad&\color{red}{(1)}
\end{aligned}

\begin{aligned}
p(-3)&=0\\
2(-3)^3+k(-3)^2+m(-3)-3&=0\\
-54+9k-3m-3&=0\\
9k-3m-57&=0\\
9k-3m&=57\\
3k-m&=19\qquad&\color{red}{(2)}
\end{aligned}

Eliminasi \color{red}{(1)} dan \color{red}{(2)}
\begin{aligned}
k-m&=5\\
3k-m&=19&\qquad-\\\hline
-2k&=-14\\
k&=7
\end{aligned}

Substitusikan nilai k ke persamaan (1)
\begin{aligned}
k-m&=5\\
7-m&=5\\
m&=2
\end{aligned}

Jadi, k=7 dan m=2.

---

No. 4

Diketahui {f(x)=ax^3+ax^2-bx-b} habis dibagi {\left(x^2+2\right)} dan {(x-a-b)}. Nilai dari {a+b} adalah

1. -1
2. 0
   
3. 1
   

4. 2
5. 3
   

CARA 1

x^2+2
{a=1}, {b=0}, {c=2}

	a	a	-b	-b
-2			-2a	-2a
0		0	0	0
	a	a	-2a-b	-2a-b
{a+b}		{a^2+ab}
	a	{a^2+ab+a}

\begin{aligned}
a^2+ab+a&=0\\
a(a+b+1)&=0\\
a+b+1&=0\\
a+b&=\boxed{\boxed{-1}}
\end{aligned}

CARA 2

\begin{aligned}
f(x)&=ax^3+ax^2-bx-b\\
&=ax^2(x+1)-b(x+1)\\
&=(ax^2-b)(x+1)
\end{aligned}

\begin{aligned}
f(a+b)&=0\\
\left(a(a+b)^2-b\right)(a+b+1)&=0\\
a+b+1&=0\\
a+b&=\boxed{\boxed{-1}}
\end{aligned}

Jadi, {a+b=-1}.
JAWAB: A