Exercise Zone : Barisan dan Deret Aritmetika

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Barisan dan Deret Aritmetika. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Jika (a+10), \left(a^2-1\right), (3a+18) merupakan 3 suku pertama barisan aritmetika naik, tentukan suku ke-10. (Hint: nilai suku semakin besar)

$$\begin{array}{rl}2(a^2-1)& =a+10+3a+18\\ 2a^2-2& =4a+28\\ 2a^2-4a-30& =0\\ a^2-2a-15& =0\\ (a+3)(a-5)& =0\end{array}$$
a=-3 atau a=5

Jika a=-3, barisannya menjadi:
7, 8, 9
a=7 (suku pertama, bukan nilai a yang di atas)
b=1

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_{10}& =7+(10-1)1\\ & =7+9\\ & =16\end{array}$$

Jika a=5, barisannya menjadi:
15, 24, 33
a=15
b=9

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_{10}& =15+(10-1)9\\ & =15+81\\ & =96\end{array}$$

Jadi, suku ke-10 adalah 16 atau 96.

No.

Suku ke-10 dari aritmetika {p-1}, 2p, {2p+6} adalah ....

1. 51
2. 52
3. 55

4. 57
5. 58

Ganesha Operation

$$\begin{array}{rl}2(2p)& =p-1+2p+6\\ 4p& =3p+5\\ p& =5\end{array}$$

Barisannya menjadi
4, 10, 16

a=4
b=6

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_{10}& =4+(10-1)6\\ & =4+54\\ & =58\end{array}$$

Jadi, suku ke-10 nya adalah 58. JAWAB: E

No.

Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke-5 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 4 dan 10. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah

1. 50
2. 55
3. 60

4. 65
5. 70

U_n=a+(n-1)b

$$\begin{array}{rl}{U}_5& =4\\ a+4b& =4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_8& =10\\ a+7b& =10\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+7b& =10\\ a+4b& =4& -\\ 3b& =6\\ b& =2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+4b& =4\\ a+4(2)& =4\\ a+8& =4\\ a& =-4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}[2a+(n-1)b]\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}}[2(-4)+(10-1)2]\\ & =5[-8+18]\\ & =5\left[10\right]\\ & =50\end{array}$$

Jadi, jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah 50. JAWAB: A

No.

Suku tengah suatu deret aritmetika adalah 23. Jika suku terakhirnya 43 dan suku ketiganya 13, maka banyak suku deret tersebut adalah....

1. 5
2. 7
3. 9

4. 11
5. 13

U_t=23,
U_n=43,
U_3=13

$$\begin{array}{rl}a+U_n& =2U_t\\ a+43& =2(23)\\ a+43& =46\\ a& =3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_3& =13\\ a+2b& =13\\ 3+2b& =13\\ 2b& =10\\ b& =5\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =43\\ a+(n-1)b& =43\\ 3+(n-1)5& =43\\ 3+5n-5& =43\\ 5n-2& =43\\ 5n& =45\\ n& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 9}}}}\end{array}$$

Jadi, banyak suku deret tersebut adalah 9. JAWAB: C

No.

Seutas pita dibagi menjadi 10 bagian dengan panjang membentuk deret aritmetika. Jika pita yang terpendek 20 cm dan yang terpanjang 155 cm, maka panjang pita semula adalah ....

1. 800 cm
2. 825 cm
3. 850 cm

4. 875 cm
5. 900 cm

n=10,
a=20,
U_n=155

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}(a+U_n)\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}}(20+155)\\ & =5(175)\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 875}}}}\end{array}$$

Jadi, panjang pita semula adalah 875 cm. JAWAB: D

No.

Dari barisan aritmetika diketahui U_3=18 dan U_7=38. Jumlah 24 suku pertama adalah

$$\begin{array}{rl}{U}_3& =18\\ a+2b& =18\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_7& =38\\ a+6b& =38\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+6b& =38\\ a+2b& =18& -\\ 4b& =20\\ b& =5\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+2b& =18\\ a+2(5)& =18\\ a+10& =18\\ a& =8\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}[2a+(n-1)b]\\ S_{24}& ={\displaystyle \frac{24}{2}}[2(8)+(24-1)5]\\ & =12[16+(23)5]\\ & =12[16+115]\\ & =12\left[131\right]\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 1572}}}}\end{array}$$

Jadi, jumlah 24 suku pertama adalah 1572.

No.

Tiga bilangan membentuk deret aritmetika, jumlahnya 12 dan hasil kalinya 48. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.

Misal bilangannya adalah p-b, p, p+b

$$\begin{array}{rl}p-b+p+p+b& =12\\ 3p& =12\\ p& =4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}(4-b)(4)(4+b)& =48\\ 16-b^2& =12\\ b^2& =4\\ b& =2\end{array}$$

Barisan bilangannya,
4-2, 4, 4+2
2, 4, 6
a=2, b=2

$$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}[2a+(n-1)b]\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}}[2(2)+(10-1)(2)]\\ & =5[4+(9)(2)]\\ & =5[4+18]\\ & =5\left[22\right]\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 110}}}}\end{array}$$

Jadi, jumlah 10 suku pertama deret tersebut adalah 110.

No.

Jika {p-2}, {p+4}, {1-2p}, \dots adalah barisan aritmetika berurutan, maka tentukanlah p, beda, dan suku ke-7!

$$\begin{array}{rl}2(p+4)& =p-2+1-2p\\ 2p+8& =-p-1\\ 3p& =-9\\ p& =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -3}}}}\end{array}$$

Barisan bilangannya menjadi,
-3-2, -3+4, 1-2(-3)
-5, 1, 7

b=1-(-5)=\boxed{\boxed{6}}

$$\begin{array}{rl}{U}_n& =a+(n-1)b\\ U_7& =-5+(7-1)6\\ & =-5+(6)6\\ & =-5+36\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 31}}}}\end{array}$$

Jadi, p-3; b=6; U_7=31.

No.

Diketahui deret aritmetika dengan suku ke-3 adalah 10 dan suku ke-8 adalah 25. Nilai suku ke-10 sama dengan

1. 28
2. 31
3. 34

4. 37
5. 40

CARA BIASA

$$\begin{array}{rl}{U}_3& =10\\ a+2b& =10\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_8& =25\\ a+7b& =25\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+7b& =25\\ a+2b& =10& -\\ 5b& =15\\ b& =3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}a+2b& =10\\ a+2(3)& =10\\ a+6& =10\\ a& =4\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_{10}& =a+9b\\ & =4+9(3)\\ & =4+27\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 31}}}}\end{array}$$

CARA CEPAT

$$\begin{array}{rl}{U}_8& =U_3+5b\\ 25& =10+5b\\ 15& =5b\\ b& =3\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{U}_{10}& =U_8+2b\\ & =25+2(3)\\ & =25+6\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle 31}}}}\end{array}$$

Jadi, nilai suku ke-10 sama dengan 31. JAWAB: B

No.

Jika {3k^2+k+1}, {2k^2+k}, {4k^2-6k+1} merupakan tiga suku pertama barisan aritmetika, maka jumlah 10 suku pertama yang mungkin barisan tersebut adalah

1. 105
2. 85
3. 75

4. -85
5. -75

$$\begin{array}{rl}2(2k^2+k)& =3k^2+k+1+4k^2-6k+1\\ 4k^2+2k& =7k^2-5k+2\\ -3k^2+7k-2& =0\\ 3k^2-7k+2& =0\\ (3k-1)(k-2)& =0\end{array}$$
k=\dfrac13 atau k=2

• Untuk k=\dfrac13
  $$\begin{array}{rl}a& =3k^2+k+1\\ & =3{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}+1\\ & =3\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}+1\\ & ={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+1\\ & ={\displaystyle \frac{5}{3}}\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}{U}_2& =2{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & =2\left({\displaystyle \frac{1}{9}}\right)+{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{2}{9}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\\ & ={\displaystyle \frac{5}{9}}\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}b& =U_2-a\\ & ={\displaystyle \frac{5}{9}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}\\ & =-{\displaystyle \frac{10}{3}}\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}[2a+(n-1)b]\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}}[2\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)+(10-1)(-{\displaystyle \frac{10}{3}})]\\ & =5[{\displaystyle \frac{10}{3}}-{\displaystyle \frac{90}{3}}]\\ & =5[-{\displaystyle \frac{80}{3}}]\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{400}{3}}}}}}\end{array}$$
  
• Untuk k=2
  $$\begin{array}{rl}a& =3k^2+k+1\\ & =3(2{)}^2+2+1\\ & =12+2+1\\ & =15\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}{U}_2& =2{\left(2\right)}^2+2\\ & =2\left(4\right)+2\\ & =8+2\\ & =10\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}b& =U_2-a\\ & =10-15\\ & =-5\end{array}$$
  
  $$\begin{array}{rl}{S}_n& ={\displaystyle \frac{n}{2}}[2a+(n-1)b]\\ S_{10}& ={\displaystyle \frac{10}{2}}[2\left(15\right)+(10-1)(-5)]\\ & =5[30-45]\\ & =5[-15]\\ & =\boxed{{\displaystyle \boxed{{\displaystyle -75}}}}\end{array}$$
  

Jadi, jumlah 10 suku pertama yang mungkin barisan tersebut adalah -75. JAWAB: E