Exercise Zone : Luas Daerah Di Bawah Kurva

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Luas Daerah Di Bawah Kurva. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No.

Luas daerah yang diarsir adalah .... satuan luas.

\begin{aligned} L&=-\displaystyle\intop_1^2\left(-x^2-1\right)\ dx\\ &=-\left[-\dfrac13x^3-x\right]_1^2\\ &=-\left[\left(-\dfrac13(2)^3-2\right)-\left(-\dfrac13(1)^3-1\right)\right]\\ &=-\left[\left(-\dfrac83-2\right)-\left(-\dfrac13-1\right)\right]\\ &=-\left[-\dfrac{14}3-\left(-\dfrac43\right)\right]\\ &=-\left[-\dfrac{10}3\right]\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{10}3}} \end{aligned}

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah \dfrac{10}3 satuan luas. JAWAB: B

No.

Luas daerah yang diarsir adalah

Titik potong kurva terhadap sumbu x
\begin{aligned} -4x^3+8x^2&=0\\ -4x^2(x-2)&=0 \end{aligned}
x=0 dan x=2

\begin{aligned} L&=\displaystyle\intop_0^2\left(-4x^3+8x^2\right)\\ &=\left[-x^4+\dfrac83x^3\right]_0^2\\ &=\left[-2^4+\dfrac83(2)^3\right]-\left[-0^4+\dfrac83(0)^3\right]\\ &=\left[-16+\dfrac83(8)\right]-\left[0+\dfrac83(0)\right]\\ &=\left[-16+\dfrac{64}3\right]-\left[0\right]\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{16}3}} \end{aligned}

Jadi, luas daerah yang diarsir adalah \dfrac{16}3 satuan luas. JAWAB: B

No.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2+1, x=2, sumbu y, dan sumbu x adalah .... satuan luas.

\begin{aligned} L&=\displaystyle\intop_0^2\left(x^2+1\right)\ dx\\ &=\left[\dfrac13x^3+x\right]_0^2\\ &=\left[\dfrac13(2)^3+2\right]-\left[\dfrac13(0)^3+0\right]\\ &=\left[\dfrac13(8)+2\right]-\left[0+0\right]\\ &=\left[\dfrac83+2\right]-0\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{14}3}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah \dfrac{14}3 satuan luas. JAWAB: E

No.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah

kita bagi menjadi dua daerah seperti pada gambar berikut:

Luas daerah I
\begin{aligned} L_1&=\displaystyle\intop_0^1\sqrt{x}\ dx\\ &=\displaystyle\intop_0^1x^{\frac12}\ dx\\ &=\left[\dfrac23x^{\frac32}\right]_0^1\\ &=\dfrac23\left[x\sqrt{x}\right]_0^1\\ &=\dfrac23\left[1\sqrt1-0\sqrt0\right]\\ &=\dfrac23 \end{aligned}

Luas daerah 2
\begin{aligned} L_2&=\dfrac12\cdot1\cdot1\\ &=\dfrac12 \end{aligned}

Luas keseluruhan,
\begin{aligned} L&=L_1+L_2\\ &=\dfrac23+\dfrac12\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac76}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah \dfrac76 satuan luas. JAWAB: C

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah

\begin{aligned} L&=\displaystyle\intop_0^4\left(2x-\left(x^2-2x\right)\right)\ dx\\ &=\displaystyle\intop_0^4\left(2x-x^2+2x\right)\ dx\\ &=\displaystyle\intop_0^4\left(-x^2+4x\right)\ dx\\ &=\left[-\dfrac13x^3+2x^2\right]_0^4\\ &=\left[-\dfrac13(4)^3+2(4)^2\right]-\left[-\dfrac13(0)^3+(0)^2\right]\\ &=\left[-\dfrac{64}3+32\right]-0\\ &=-21\dfrac13+32\\ &=11-\dfrac13\\ &=\boxed{\boxed{10\dfrac23}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah 10\dfrac23 satuan luas. JAWAB: B

No.

Luas daerah antara kurva y=-x^3-x^2+2x dengan sumbu x adalah

Titik potong kurva terhadap sumbu x
\begin{aligned} -x^3-x^2+2x&=0\\ -x\left(x^2+x-2\right)&=0\\ -x(x+2)(x-1)&=0 \end{aligned}
x=0, x=-2, x=1

Ada 2 daerah, yaitu dari x=-2 sampai x=0, dan dari x=0 sampai x=1.

Luas daerah 1

karena daerahnya berada di bawah sumbu x, maka kita gunakan tanda negatif sebelum tanda integral.
\begin{aligned} L_1&=-\displaystyle\intop_{-2}^0\left(-x^3-x^2+2x\right)\ dx\\ &=-\left[-\dfrac14x^4-\dfrac13x^3+x^2\right]_{-2}^0\\ &=-\left[\left(-\dfrac14(0)^4-\dfrac13(0)^3+0^2\right)-\left(-\dfrac14(-2)^4-\dfrac13(-2)^3+(-2)^2\right)\right]\\ &=-\left[\left(-\dfrac14(0)-\dfrac13(0)+0\right)-\left(-\dfrac14(16)-\dfrac13(-8)+4\right)\right]\\ &=-\left[\left(0-0+0\right)-\left(-4+\dfrac83+4\right)\right]\\ &=-\left[0-\dfrac83\right]\\ &=\dfrac83 \end{aligned}

Luas daerah 2

\begin{aligned} L_1&=\displaystyle\intop_0^1\left(-x^3-x^2+2x\right)\ dx\\ &=\left[-\dfrac14x^4-\dfrac13x^3+x^2\right]_0^1\\ &=\left[-\dfrac14(1)^4-\dfrac13(1)^3+1^2\right]-\left[-\dfrac14(0)^4-\dfrac13(0)^3+0^2\right]\\ &=\left[-\dfrac14-\dfrac13+1\right]-\left[0\right]\\ &=\dfrac5{12} \end{aligned}

Luas keseluruhan

\begin{aligned} L&=L_1+L_2\\ &=\dfrac83+\dfrac5{12}\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac{37}{12}}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah \dfrac{37}{12} satuan luas. JAWAB: C

No.

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4x+3, sumbu x dan sumbu y adalah .... satuan luas.

Titik potong kurva dengan sumbu x
\begin{aligned} x^2-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0 \end{aligned}
x=1 dan x=3

\begin{aligned} L&=\displaystyle\intop_0^1\left(x^2-4x+3\right)\ dx\\ &=\left[\dfrac13x^3-2x^2+3x\right]_0^1\\ &=\left[\dfrac13(1)^3-2(1)^2+3(1)\right]-\left[\dfrac13(0)^3-2(0)^2+3(0)\right]\\ &=\dfrac13-2+3\\ &=\boxed{\boxed{\dfrac43}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah \dfrac43 satuan luas. JAWAB: C

No.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping ini adalah .... satuan luas.

CARA 1

Fungsi kuadrat tersebut mempunyai titik puncak di (3,0).
\begin{aligned} y&=a\left(x-x_p\right)^2+y_p\\ &=a\left(x-3\right)^2+0\\ &=a\left(x-3\right)^2 \end{aligned}

Melalui (0,2),
\begin{aligned} 2&=a\left(0-3\right)^2\\ 2&=a\left(-3\right)^2\\ 2&=a\left(9\right)\\ a&=\dfrac29 \end{aligned}
Substitusikan ke persamaan awal,
y=\dfrac29(x-3)^2

Luas daerahnya,
\begin{aligned} L&=\displaystyle\intop_0^3\left(\dfrac29(x-3)^2\right)\ dx\\ &=\left[\dfrac29\cdot\dfrac13(x-3)^3\right]_0^3\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[(x-3)^3\right]_0^3\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[(3-3)^3-(0-3)^3\right]\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[0^3-(-3)^3\right]\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[0-(-27)\right]\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[0+27\right]\\[8pt] &=\dfrac2{27}\left[27\right]\\ &=\boxed{\boxed{2}} \end{aligned}

CARA 2

\begin{aligned} L&=\dfrac{2\cdot3}3\\ &=\boxed{\boxed{2}} \end{aligned}

Jadi, luasnya adalah 2 satuan luas. JAWAB: A

No.

Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ....

SKB CPNS MATEMATIKA 2020

CARA BIASA

Titik Potong Kedua Kurva

\(\eqalign{ 3x-x^2&=-x+3\\ 3x-x^2+x-3&=0\\ -x^2+4x-3&=0\\ x^2-4x+3&=0\\ (x-1)(x-3)&=0 }\)
x=1 dan x=3

Luas Daerah

\(\eqalign{ L&=\displaystyle\intop_1^3\left(3x-x^2\right)-(-x+3)\ dx\\ &=\displaystyle\intop_1^33x-x^2+x-3\ dx\\ &=\displaystyle\intop_1^3-x^2+4x-3\ dx\\ &=\left[-\dfrac13x^3+2x^2-3x\right]_1^3\\ &=\left[-\dfrac13(3)^3+2(3)^2-3(3)\right]-\left[-\dfrac13(1)^3+2(1)^2-3(1)\right]\\ &=\left[-9+18-9\right]-\left[-\dfrac13+2-3\right]\\ &=[0]-\left[-1\dfrac13\right]\\ &=\boxed{\boxed{1\dfrac13}} }\)

CARA CEPAT

\(\eqalign{ 3x-x^2-(-x+3)&=3x-x^2+x-3\\ &=-x^2+4x-3 }\)
a=-1, b=4, c=-3

\(\eqalign{ D&=b^2-4ac\\ &=4^2-4(-1)(-3)\\ &=16-12\\ &=4 }\)

\(\eqalign{ L&=\dfrac{D\sqrt{D}}{6a^2}\\ &=\dfrac{4\sqrt4}{6(-1)^2}\\ &=\dfrac86\\ &=\dfrac43\\ &=\boxed{\boxed{1\dfrac13}} }\)

Jadi, luasnya adalah 1\dfrac13 satuan luas.

No.

Sketch the curve and find the total area between the curve and the given interval on the x-axis
y=\sqrt{x+1}-1; [-1,1]

brainly.co.id

\(\eqalign{ L_1&=-\displaystyle\intop_{-1}^0\left(\sqrt{x+1}-1\right)\ dx\\ &=-\displaystyle\intop_{-1}^0\left((x+1)^{\frac12}-1\right)\ d(x+1)\\ &=-\left[\dfrac23(x+1)^{\frac32}-x\right]_{-1}^0\\ &=-\left[\left(\dfrac23(0+1)^{\frac32}-0\right)-\left(\dfrac23(-1+1)^{\frac32}-(-1)\right)\right]\\ &=-\left[\left(\dfrac23(1)^{\frac32}\right)-\left(\dfrac23(0)^{\frac32}+1\right)\right]\\ &=-\left[\dfrac23-1\right]\\ &=-\left[-\dfrac13\right]\\ &=\dfrac13 }\)

\(\eqalign{ L_2&=\displaystyle\intop_0^1\left(\sqrt{x+1}-1\right)\ dx\\ &=\displaystyle\intop_0^1\left((x+1)^{\frac12}-1\right)\ d(x+1)\\ &=\left[\dfrac23(x+1)^{\frac32}-x\right]_0^1\\ &=\left(\dfrac23(1+1)^{\frac32}-1\right)-\left(\dfrac23(0+1)^{\frac32}-0\right)\\ &=\left(\dfrac23(2)^{\frac32}-1\right)-\left(\dfrac23(1)^{\frac32}\right)\\ &=\left(\dfrac23\left(2\sqrt2\right)-1\right)-\left(\dfrac23\right)\\ &=\dfrac43\sqrt2-1-\dfrac23\\ &=\dfrac43\sqrt2-\dfrac53 }\)

{L=L_1+L_2=\dfrac13+\dfrac43\sqrt2-\dfrac53=\boxed{\boxed{\dfrac43\sqrt2-\dfrac43}}}

So, the total area between the curve and the given interval on the x-axis is \dfrac43\sqrt2-\dfrac43

LIHAT JUGA:
INTEGRAL TENTU INTEGRAL TAK TENTU