Bilangan Asli : Soal dan Pembahasan (DISCONTINUED)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai bilangan asli. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

1

Misalkan k, m, n adalah bilangan asli dengan \dfrac1k+\dfrac1m+\dfrac1n\lt1. Tentukan nilai maksimal dari \dfrac1k+\dfrac1m+\dfrac1n.
Grup Telegram

Agar mencapai nilai maksimum, kita pilih nilai k dan m sekecil mungkin. Kita ambil k=2 jadi m\gt2 atau m=3.
\begin{aligned}
\dfrac12+\dfrac13+\dfrac1n&\lt1\\
\dfrac1n&\lt\dfrac16
\end{aligned}
n=7

\dfrac12+\dfrac13+\dfrac17=\dfrac{41}{42}

Jadi, nilai maksimal dari \dfrac1k+\dfrac1m+\dfrac1n adalah \dfrac{41}{42}.

---

2

Jika bilangan 2014 dinyatakan sebagai jumlah dari bilangan-bilangan asli berurutan, maka bilangan asli terbesar yang mungkin adalah ....

\begin{aligned}
a+(a+1)+(a+2)+\cdots+(a+n-1)&=2014\\
\dfrac{n}2(2a+n-1)&=2014
\end{aligned}
Jika n bilangan genap, misal n=2k
\begin{aligned}
k(2a+2k-1)&=2014\\
k(2(a+k)-1)&=2014
\end{aligned}

2014=1\cdot2014=2\cdot1007=19\cdot106=38\cdot53
Pilih nilai k yang bukan ganjil.
Jika k=106, maka 2(a+k)-1=19 atau a=-96 (tidak mungkin).
Jika k=38, maka 2(a+k)-1=53 atau a=-11 (tidak mungkin).
Jika k=2, maka 2(a+k)-1=1007 atau a=502. n=4. Bilangan terbesarnya 502+4-1=505.

Jika n bilangan ganjil, misal n=2k-1
\begin{aligned}
\dfrac{2k-1}2(2a+2k-1-1)&=2014\\
(2k-1)(a+k-1)&=2014
\end{aligned}

Jika 2k-1=1007 atau k=504, maka a+k-1=2 atau a=-501 (tidak mungkin).
Jika 2k-1=19 atau k=10, maka a+k-1=106 atau a=97. n=20. Bilangan terbesarnya 97+20-1=116.
Jika 2k-1=53 atau k=27, maka a+k-1=38 atau a=12. n=54. Bilangan terbesarnya 12+54-1=65.

Jadi, bilangan asli terbesar yang mungkin adalah 505.

---

No. 3

Diberikan bilangan bulat positif dua digit. Jika bilangan tersebut dibalik urutannya,maka diperoleh bilangan lain yang nilainya 7 kali dari jumlah digit penyusun bilangan awal. Diketahui bahwa selisih atar bilangan awal dan bilangan seetelah dibalik adalah 18. Bilangan yang dimaksud adalah

1. 12
2. 24
   
3. 36
   

4. 48
5. 50
   

Misal bilangan bulatnya adalah ab yang artinya 10a+b. Jika dibailk menjadi 10b+a.
\begin{aligned}
10b+a&=7(a+b)\\
10b+a&=7a+7b\\
3b&=6a\\
b&=2a
\end{aligned}

\begin{aligned}
10b+a-(10a+b)&=18\\
10b+a-10a-b&=18\\
9b-9a&=18\\
b-a&=2\\
2a-a&=2\\
a&=2
\end{aligned}

\begin{aligned}
10a+b&=10(2)+4\\
&=20+4\\
&=24
\end{aligned}

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 24.
JAWAB: B

---

No. 4

Jika bilangan 2019 dapat dinyatakan sebagai jumlah dari n bilangan asli berurutan, maka nilai n terbesar yang mungkin adalah

1. 3
2. 6
   
3. 9
   

4. 12
5. 15
   

Misal bilangan terkecilnya adalah a
\begin{aligned}
a+a+1+a+2+\cdots+a+n-1&=2019\\
\dfrac{n}2(a+a+n-1)&=2019\\[8pt]
\dfrac{n}2(2a+n-1)&=2019
\end{aligned}

Jika n genap, maka n=2k dengan k bilangan asli

\begin{aligned}
\dfrac{2k}2(2a+2k-1)&=2019\\[8pt]
k(2(a+k)-1)&=2019
\end{aligned}
Jadi, k dan harus merupakan faktor dari 2019

• Jika k=2019, maka
  \begin{aligned}
  2(a+1)-1&=1\\
  a&=0\ &\color{red}{(TM)}
  \end{aligned}
• Jika k=673, maka
  \begin{aligned}
  2(a+673)-1&=3\\
  a&=-...\ &\color{red}{(TM)}
  \end{aligned}
• Jika k=3, maka
  \begin{aligned}
  2(a+3)-1&=673\\
  a&=334\ &\color{red}{BISA}
  \end{aligned}
  n=2k=6

Jika n Ganjil, maka n=2k-1 dengan k bilangan asli

\begin{aligned}
\dfrac{2k-1}2(2a+2k-1-1)&=2019\\[8pt]
\dfrac{2k-1}2(2a+2k-2)&=2019\\[8pt]
(2k-1)(a+k-1)&=2019
\end{aligned}
Jadi, 2k-1=n dan a+k-1 harus merupakan faktor dari 2019

• Jika n=2019, maka k=1010
  \begin{aligned}
  a+1010-1&=1\\
  a&=-...\ &\color{red}{(TM)}
  \end{aligned}
• Jika n=673, maka k=337
  \begin{aligned}
  2a+337-1&=3\\
  a&=-...\ &\color{red}{(TM)}
  \end{aligned}

Jadi, nilai n terbesar yang mungkin adalah 6.
JAWAB: B

---

No. 5

3 orang A, B, dan C pinjam-meminjam kelereng. Pada awalnya ketiga orang tersebut memiliki sejumlah kelereng tertentu dan selama pinjam meminjam mereka tidak melakukan penambahan kelereng selain melalui pinjam meminjam di antara ketiga orang tersebut. Pada suatu hari, A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari berikutnya B meminjami sejumlah kelereng A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Hari terakhir C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Setelah dihitung akhirnya masing-masing memiliki 16 kelereng. Banyak kelereng A mula-mula adalah
SUMBER

Pada hari terakhir, C meminjami sejumlah kelereng kepada A dan B sehingga jumlah kelereng A dan B masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Jadi, sebelum C memberi pinjaman, A dan B mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{16}2=8

dan C mempunyai kelereng sebanyak:
16+8+8=32

Pada hari kedua, B meminjami sejumlah kelereng A dan C sehingga jumlah kelereng A dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Sebelum B memberi pinjaman, A mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac82=4

C mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{32}2=16

dan B mempunyai kelereng sebanyak:
8+4+16=28

Pada hari pertama, A meminjami sejumlah kelereng kepada B dan C sehingga jumlah kelereng B dan C masing-masing menjadi 2 kali lipat jumlah kelereng sebelumnya. Sebelum A memberi pinjaman, B mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{28}2=14

C mempunyai kelereng sebanyak:
\dfrac{16}2=8

dan A mempunyai kelereng sebanyak:
4+14+8=26

Jadi, banyak kelereng A mula-mula adalah 26.

LIHAT JUGA:
Bilangan Bulat Bilangan Prima Bilangan Pecahan

5