Peluang (2) : Soal dan Pembahasan (DISCONTINUED)

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai peluang. Jika ada jawaban yang salah, mohon dikoreksi melalui komentar. Terima kasih.

• 1
• 2

Jika L(a) adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dan parabola y=ax+x^2, 0\lt a\lt1, maka peluang nilai a sehingga L(a)\geq\dfrac1{12} adalah ....

2. 
   
3. 
   

5. 
   

\begin{aligned}
L(a)&=-\displaystyle\intop_{-a}^0ax+x^2\ dx\\
&=\displaystyle\intop_0^{-a}ax+x^2\ dx\\
&=\left[\dfrac{a}2x^2+\dfrac13x^3\right]_0^{-a}\\[8pt]
&=\left[\dfrac{a}2(-a)^2+\dfrac13(-a)^3\right]-\left[\dfrac{a}2(0)^2+\dfrac13(0)^3\right]\\[8pt]
&=\left[\dfrac{a^3}2-\dfrac{a^3}3\right]-\left[0\right]\\[8pt]
&=\dfrac{a^3}6
\end{aligned}

Kita cari dulu nilai a sedemikian sehingga L(a)=\dfrac1{12}.
\begin{aligned}
\dfrac{a^3}6&=\dfrac1{12}\\[8pt]
a^3&=\dfrac6{12}\\[8pt]
&=\dfrac12\\[8pt]
a&=\sqrt[3]{\dfrac12}\\[8pt]
&=\dfrac1{\sqrt[3]2}
\end{aligned}

Peluangnya adalah:
\begin{aligned}
P&=\dfrac{1-\dfrac1{\sqrt[3]2}}{1-0}\\
&=\boxed{\boxed{1-\dfrac1{\sqrt[3]2}}}
\end{aligned}

Jadi, peluang nilai a sehingga L(a)\geq\dfrac1{12} adalah 1-\dfrac1{\sqrt[3]2}.
JAWAB: D

---

Budi mempunyai koleksi 3 pasang sepatu dengan merek yang berbeda, dan 4 baju berlainan coraknya, serta 3 celana yang berbeda warna. Banyak cara berpakaian Budi dengan penampilan berbeda adalah

1. 10
2. 12
   
3. 22
   

4. 41
5. 36
   

UN 2014

3\times4\times3=36

Jadi, anyak cara berpakaian Budi dengan penampilan berbeda adalah 36.
JAWAB: E

---

Di dalam suatu ruangan terdapat 6 bangku yang disusun memanjang. Jika terdapat 8 orang yang hendak duduk, ada berapa banyak susunan mereka menempati bangku tersebut?

Di sini kita memilih 6 dari 8 orang dengan memperhatikan urutan sehingga banyaknya cara ada:
\begin{aligned}
P_6^8&=\dfrac{8!}{(8-6)!}\\[8pt]
&=\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2!}{2!}\\
&=\boxed{\boxed{20160}}
\end{aligned}

Jadi, banyak susunan mereka menempati bangku tersebut ada 20.160 cara.

---

Pada suatu perusahaan, ada 3 lowongan pekerjaan yang disediakan hanya untuk pekerja pria, 5 lowongan pekerjaan hanya untuk pekerja wanita, 4 lowongan pekerjaan untuk pekerja pria dan wanita. Jika terdapat 20 pelamar dengan komposisi 8 wanita dan 12 pria, tentukan banyak cara mengisi pekerjaan ini.

\begin{aligned}
C_3^{12}\cdot C_5^8\cdot C_4^{12}&=\dfrac{12!}{(12-3)!\cdot3!}\cdot\dfrac{8!}{(8-5)!\cdot5!}\cdot\dfrac{12!}{(12-4)!\cdot4!}\\[8pt]
&=\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9!}{9!\cdot3\cdot2\cdot1}\cdot\dfrac{8\cdot7\cdot6\cdot5!}{3\cdot2\cdot1\cdot5!}\cdot\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9\cdot8!}{8!\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}\\[8pt]
&=220\cdot56\cdot495\\
&=\boxed{\boxed{6098400}}
\end{aligned}

Jadi, banyak cara mengisi pekerjaan ini ada 6.098.400 cara.

---

Di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih, 3 bola hitam, dan 2 bola merah. Jika diambil 5 bola tanpa pengembalian, maka peluang banyak bola putih yang terambil tiga kali banyak bola hitam yang terambil adalah

Hanya ada 1 kemungkinan yaitu 3 bola putih, 1 bola hitam, dan 1 bola merah.
\begin{aligned}
P&=\dfrac{C_3^6\cdot C_1^3\cdot C_1^2}{C_5^{10}}\\[10pt]
&=\dfrac{\dfrac{6!}{(6-3)!\cdot3!}\cdot\dfrac{3!}{(3-1)!\cdot1!}}{\dfrac{10!}{(10-5)!\cdot5!}}\\[21pt]
&=\dfrac{\dfrac{6\cdot5\cdot4\cdot3!}{3\cdot2\cdot1\cdot3!}\cdot\dfrac{3\cdot2!}{2!\cdot1}}{\dfrac{10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5!}{5!\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}}\\[21pt]
&=\dfrac{60}{252}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac5{21}}}
\end{aligned}

Jadi, peluangnya adalah \dfrac5{21}.
JAWAB: B

---

16

Daerah R di dalam persegi panjang memiliki titik sudut (-1,1), (5,1), (-1,-6), dan (5,-6). Sebuah titik akan dipilih dari R. Probabilitas akan terpilih titik yang berada di atas garis y=\dfrac75x-6 untuk x, y bilangan riil adalah

CE=1
AB=6
AC=7

Peluangnya adalah perbandingan antara luas ABEC dan luas ABDC
\begin{aligned}
P&=\dfrac{L_{ABEC}}{L_{ABDC}}\\[8pt]
&=\dfrac{\dfrac12(AB+CE)AC}{AB\cdot AC}\\[8pt]
&=\dfrac{\dfrac12(6+1)\cancel{7}}{6\cdot\cancel{7}}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac7{12}}}
\end{aligned}

Jadi, peluangnya adalah \dfrac7{12}.
JAWAB: D

---

No. 17

Suatu kelas terdiri atas 12 pelajar pria dan 18 pelajar wanita. Separuh pelajar pria memakai arloji dan separuh pelajar wanita juga memakai arloji. Jika dipilih stu pelajar, maka peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah

1. \dfrac3{10}
2. \dfrac25
3. \dfrac12

4. \dfrac35
5. \dfrac45

Misal A = pelajar wanita
B = pelajar memakai arloji

n(B)=6+9=15

P(A)=\dfrac{18}{30}=\dfrac6{10}

P(B)=\dfrac{15}{30}=\dfrac5{10}

P(A\cap B)=\dfrac9{30}=\dfrac3{10}

\begin{aligned}
P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\
&=\dfrac6{10}+\dfrac5{10}-\dfrac3{10}\\
&=\dfrac8{10}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac45}}
\end{aligned}

Jadi, peluang yang terpilih wanita atau memakai arloji adalah \dfrac45.
JAWAB: E

---

No. 18

Di dalam suatu keranjang terdapat 10 buah alpukat, 3 diantaranya diketahui busuk. Jika diambil 3 alpukat secara acak (random), maka peluang tepat satu di antaranya busuk adalah ...

1. \dfrac{31}{60}
2. \dfrac{21}{40}
3. \dfrac{11}{20}

4. \dfrac6{10}
5. \dfrac58

Yang baik ada 7. Peluang 2 baik dan 1 busuk adalah
\begin{aligned}
P&=\dfrac{_7C_2\cdot_3C_1}{_{10}C_3}\\[8pt]
&=\dfrac{\dfrac{7!}{(7-2)!2!}\cdot\dfrac{3!}{(3-1)!1!}}{\dfrac{10!}{(10-3)!3!}}\\[8pt]
&=\dfrac{\dfrac{7\cdot\overset{\color{blue}3}{\color{red}{\cancel{\color{black}{6}}}}\cdot\color{red}{\cancel{\color{black}{5!}}}}{{\color{red}{\cancel{\color{black}{5!}}}}\cdot{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}}\cdot1}\cdot\dfrac{3\cdot{\color{red}{\cancel{\color{black}{2!}}}}}{{\color{red}{\cancel{\color{black}{2!}}}}\cdot1}}{\dfrac{10\cdot\overset{\color{blue}3}{\color{red}{\cancel{\color{black}{9}}}}\cdot\overset{\color{blue}4}{\color{red}{\cancel{\color{black}{8}}}}\cdot{\color{red}{\cancel{\color{black}{7!}}}}}{{\color{red}{\cancel{\color{black}{7!}}}}\cdot{\color{red}{\cancel{\color{black}{3}}}}\cdot{\color{red}{\cancel{\color{black}{2}}}}\cdot1}}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac{21}{40}}}
\end{aligned}

Jadi, peluang tepat satu di antaranya busuk adalah \dfrac{21}{40}.
JAWAB: B

---

No. 19

Suatu pin kartu ATM terdiri dari tiga angka berbeda tetapi angka pertama tidak boleh nol. Peluang bahwa kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah

SUMBER

n(S)=9\cdot9\cdot8=648

A=\{123,234,345,567,678,789\}
n(A)=6

\begin{aligned}
P(A)&=\dfrac{n(A)}{n(S)}\\[8pt]
&=\dfrac6{648}\\
&=\boxed{\boxed{\dfrac1{108}}}
\end{aligned}

Jadi, peluang bahwa kartu ATM tersebut mempunyai nomor cantik 123, 234, 345, 567, 678, atau 789 adalah \dfrac1{108}.

---

No. 20

Pada percobaan pelemparan 3 mata uang sekaligus sebanyak 144 kali, maka frekuensi harapan munculnya dua angka satu gambar pada sisi mata uang adalah

SUMBER

n(S)=2^3=8

A\{AAG,AGA,GAA\}
n(A)=3

\begin{aligned}
P(A)&=\dfrac{n(A)}{n(S)}\\[8pt]
&=\dfrac38
\end{aligned}

\begin{aligned}
FH(A)&=P(A)\cdot n\\
&=\dfrac38\cdot144\\
&=\boxed{\boxed{54}}
\end{aligned}

Jadi, frekuensi harapan munculnya dua angka satu gambar pada sisi mata uang adalah 54.

• 1
• 2

19