KETAKSAMAAN AM-GM-HM-QM

Mungkin ada yang pernah mendengar mengenai AM-GM-HM, bahkan QM. Tapi mungkin banyak yang masih bertanya-tanya apa itu?


AM adalah Arithmetic Mean, dalam bahasa Indonesia adalah Rataan Aritmetik (Rataan Hitung). GM adalah Geometric Mean yang artinya Rataan Geometrik (Rataan Ukur). HM adalah Harmonic Mean yang artinya Rataan Harmonik. dan yang terakhir QM adalah Quadratic Mean yang artinya adalah Rataan Kuadrat. Rataan-rataan ini (terutama AM-GM) paling populer diterapkan dalam pemecahan berbagai masalah pertidaksamaan.
Misalkan x_i\gt0 untuk i=1,2,\dots,n. maka AM = \dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}, GM = \sqrt[n]{x_1x_2…x_n}, HM = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}}, QM = \sqrt{\dfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2}{n}} dan selalu berlaku
\[QM\geq AM\geq GM\geq HM\]

TEOREMA

Jika a dan b adalah bilangan real positif, maka \[a+b\geq2\sqrt{ab}\\ ab\leq\dfrac{(a+b)^2}4\]