Pembagi Positif

Pembagi positif suatu bilangan $n$ adalah bilangan-bilangan bulat positif yang membagi habis $n$ atau faktor dari $n$. Contoh, $6$ mempunyai pembagi positif: $1$, $2$, $3$, dan $6$.

Banyak Pembagi Positif

Jika bilangan bulat positif $n$ bisa ditulis dalam bentuk ${p_1}^{m_1}\cdot {p_2}^{m_2}\cdot {p_3}^{m_3}\cdots$ dimana $p_k$ adalah bilangan prima dan $m_k$ adalah bilangan cacah (bulat tak negatif) maka banyaknya pembagi positif bilangan bulat positif $n$ ada sebanyak:$$(m_1+1)(m_2+1)(m_3+1)\cdots$$

CONTOH SOAL

No. 1

Tentukan banyaknya pembagi positif dari 24.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$24=2^3\cdot 3$
Banyak pembagi positif:$$(3+1)(1+1)=8$$

Jadi, banyaknya pembagi positif dari 24 ada 8 bilangan.

No. 2

Tentukan banyaknya pembagi positif dari ${20}^{99}$.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{20}^{99}& ={(2^2\cdot 5)}^{99}\\ & =2^{198}\cdot 5^{99}\end{array}$$ Banyak pembagi positif:$$(198+1)(99+1)=19900$$

Jadi, banyaknya pembagi positif dari ${20}^{99}$ ada 19900 bilangan.

---

Jumlah Semua Pembagi Positif

Jumlah semua pembagi positif dari $n={p_1}^{m_1}\cdot {p_2}^{m_2}\cdot {p_3}^{m_3}\cdots$ adalah: $$\left({\displaystyle \frac{{p_1}^{m_1+1}-1}{p_1-1}}\right)\left({\displaystyle \frac{{p_2}^{m_2+1}-1}{p_2-1}}\right)\left({\displaystyle \frac{{p_3}^{m_3+1}-1}{p_3-1}}\right)\cdots$$

CONTOH SOAL

No. 1

Tentukan jumlah semua pembagi positif dari 200.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$200=2^3\cdot 5^2$
Jumlah semua pembagi positif: $$\begin{array}{rl}\left({\displaystyle \frac{2^{3+1}-1}{2-1}}\right)\left({\displaystyle \frac{5^{2+1}-1}{5-1}}\right)& =\left(15\right)\left(31\right)\\ & =465\end{array}$$

Jadi, jumlah semua pembagi positif dari 200 adalah 465.

No. 2

Tentukan jumlah semua pembagi positif dari $2160$.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$2160=2^4\cdot 3^3\cdot 5$
Jumlah semua pembagi positif: $$\begin{array}{rl}\left({\displaystyle \frac{2^{4+1}-1}{2-1}}\right)\left({\displaystyle \frac{3^{3+1}-1}{3-1}}\right)\left({\displaystyle \frac{5^{1+1}-1}{5-1}}\right)& =\left(31\right)\left(20\right)\left(6\right)\\ & =3720\end{array}$$

Jadi, jumlah semua pembagi positif dari $2160$ adalah $3720$.