Pembagi Positif

Pembagi positif suatu bilangan $n$ adalah bilangan-bilangan bulat positif yang membagi habis $n$ atau faktor dari $n$. Contoh, $6$ mempunyai pembagi positif: $1$, $2$, $3$, dan $6$.

Banyak Pembagi Positif

Jika bilangan bulat positif $n$ bisa ditulis dalam bentuk ${p_1}^{m_1}\cdot{p_2}^{m_2}\cdot{p_3}^{m_3}\cdots$ dimana ${p_k}$ adalah bilangan prima dan $m_k$ adalah bilangan cacah (bulat tak negatif) maka banyaknya pembagi positif bilangan bulat positif $n$ ada sebanyak:\[\left(m_1+1\right)\left(m_2+1\right)\left(m_3+1\right)\cdots\]

CONTOH SOAL

No. 1

Tentukan banyaknya pembagi positif dari 24.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$24=2^3\cdot3$
Banyak pembagi positif:\[(3+1)(1+1)=8\]

Jadi, banyaknya pembagi positif dari 24 ada 8 bilangan.

No. 2

Tentukan banyaknya pembagi positif dari $20^{99}$.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

\begin{aligned} 20^{99}&=\left(2^2\cdot5\right)^{99}\\ &=2^{198}\cdot5^{99} \end{aligned} Banyak pembagi positif:\[(198+1)(99+1)=19900\]

Jadi, banyaknya pembagi positif dari $20^{99}$ ada 19900 bilangan.

---

Jumlah Semua Pembagi Positif

Jumlah semua pembagi positif dari $n={p_1}^{m_1}\cdot{p_2}^{m_2}\cdot{p_3}^{m_3}\cdots$ adalah: \[\left(\dfrac{{p_1}^{m_1+1}-1}{p_1-1}\right)\left(\dfrac{{p_2}^{m_2+1}-1}{p_2-1}\right)\left(\dfrac{{p_3}^{m_3+1}-1}{p_3-1}\right)\cdots\]

CONTOH SOAL

No. 1

Tentukan jumlah semua pembagi positif dari 200.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$200=2^3\cdot5^2$
Jumlah semua pembagi positif: \begin{aligned} \left(\dfrac{2^{3+1}-1}{2-1}\right)\left(\dfrac{5^{2+1}-1}{5-1}\right)&=\left(15\right)\left(31\right)\\&=465 \end{aligned}

Jadi, jumlah semua pembagi positif dari 200 adalah 465.

No. 2

Tentukan jumlah semua pembagi positif dari $2160$.

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$2160=2^4\cdot3^3\cdot5$
Jumlah semua pembagi positif: \begin{aligned} \left(\dfrac{2^{4+1}-1}{2-1}\right)\left(\dfrac{3^{3+1}-1}{3-1}\right)\left(\dfrac{5^{1+1}-1}{5-1}\right)&=\left(31\right)\left(20\right)\left(6\right)\\&=3720 \end{aligned}

Jadi, jumlah semua pembagi positif dari $2160$ adalah $3720$.