HOTS Zone : Bilangan Prima

Berikut ini adalah kumpulan soal mengenai Bilangan Prima. Jika ingin bertanya soal, silahkan gabung ke grup Telegram, Signal, Discord, atau WhatsApp.

Tipe:

Standar SBMPTN HOTS

No. 1

Sebutkan semua bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentuk $n^5-1$ dimana $n$ adalah bilangan bulat.

Brilliant.org

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Jika $n\le 1$ maka $n^5-1\le 0$, jadi $n\ge 2$.
$n^5-1=(n-1)(n^4+n^3+n^2+n+1)$

• Jika $n-1=1$ maka $n=2$.
  $2^4+2^3+2^2+2+1=31$
  
• Jika $n^4+n^3+n^2+n+1=1$ maka
  $\begin{array}{rl}{n}^4+n^3+n^2+n& =0\\ n(n+1)(n^2+1)& =0\end{array}$
  $n=0$, atau $n=-1$. Keduanya tidak memenuhi.

Jadi, bilangan prima yang dapat dinyatakan dalam bentuk $n^5-1$ dimana $n$ adalah bilangan bulat $31$.

---

No. 2

Bilangan 126 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilang dua bilangan prima. Selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut adalah....

1. 112
2. 100

3. 92
4. 88

Grup PPG Matematika

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk mendapatkan selisih terbesar adalah bilangan prima terbesar dikurang bilangan prima terkecil. Kita list bilangan prima dari yang terkecil hingga mendapat pasangan bilangan prima yang jumlahnya 126.

Bilangan Pertama	Bilangan Kedua	Bilangan Kedua Prima?
2	124	Tidak
3	123	Tidak
5	121	Tidak
7	119	Tidak
11	115	Tidak
13	113	Ya

$113-13=100$

Jadi, selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilagan tersebut adalah 100.
JAWAB: B
info: lihat soal lainnya yang mirip di nomor 3

---

No. 3

Bilangan 106 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilang dua bilangan prima. Selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilangan tersebut adalah....

SUMBER

ALTERNATIF PENYELESAIAN

Untuk mendapatkan selisih terbesar adalah bilangan prima terbesar dikurang bilangan prima terkecil. Kita list bilangan prima dari yang terkecil hingga mendapat pasangan bilangan prima yang jumlahnya 106.

Bilangan Pertama	Bilangan Kedua	Bilangan Kedua Prima?
2	104	Tidak
3	103	Ya

$103-3=100$

Jadi, selisih terbesar yang mungkin antara kedua bilagan tersebut adalah 100.
info: bilangan pada soal ini akan berubah jika Anda reload halaman ini

---

No. 4

Diketahui n² + n + 2021 merupakan bilangan kuadrat sempurna dengan n adalah bilangan prima. n = ....

1. $11$
2. $13$

3. $17$
4. $19$

Matematika Zone Id

ALTERNATIF PENYELESAIAN

$$\begin{array}{rl}{n}^2+n+2021& =k^2\\ 4n^2+4n+8084& =4k^2\\ (2n+1{)}^2+8083& =4k^2\\ 4k^2-(2n+1{)}^2& =8083\\ (2k+2n+1)(2k-2n-1)& =8083=137\cdot 59\end{array}$$

• $(2k+2n+1)(2k-2n-1)=8083\cdot 1$
  $$\begin{array}{rl}2k+2n+1& =8083\\ k+n& =4041\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}2k-2n-1& =1\\ k-n& =1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}k+n& =4041\\ k-n& =1& -\\ 2n& =4040\\ n& =2020\end{array}$$ $n$ bukan prima
  
• $(2k+2n+1)(2k-2n-1)=137\cdot 59$
  $$\begin{array}{rl}2k+2n+1& =137\\ k+n& =68\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}2k-2n-1& =59\\ k-n& =30\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}k+n& =68\\ k-n& =30& -\\ 2n& =38\\ n& =19\end{array}$$

Jadi, n = 19.
JAWAB: D

---